Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Когда вы изучаете функцию, иногда полезно рассмотреть ограничения множества, соответствующие конкретному случаю, когда эти множества являются частью множества определений этих функций, которые находятся на одной стороне точки, в которой рассматриваются пределы. Такое ограничение называется односторонним ограничением. Если точка X0 равна 1 бесконечности, то или-это явно невозможно. И так оно и есть. В этом подразделе мы предполагаем, что в дальнейшем Хо всегда реален. Хо€К. Для упрощения записи введем обозначения. Для всех наборов XKK и точек X0€K、 HDX)* = {X. X, X, X}、 HDX)* = {X. X€X, X X}.

Это понятие имеет смысл только в том случае, если указанное множество действительно присутствует как на одной, так и на другой стороне точки x, где рассматривается предел. Людмила Фирмаль

• Другими словами, множество HDX), соответственно (HDX) является пересечением множества X с замкнутыми лучами числовой оси, вершина которой является точкой X и направлена в (отрицательном) положительном направлении. Определение 1.Пусть X ^ K и X€K. Если точка a является пределом функции A из X X, Если X = X, соответственно, называется пределом функции A слева. Как и в случае ограничения последовательности (см.§ 4.1 вместо -), в случае ограничения функции просто напишите+(соответственно -). Левые и правые ограничения называются односторонними ограничениями. Если точка x является верхней границей множества XDx)\ {x}, а нижняя граница-XDx)\ {x} (где X-множество определений функции A). х = ВИР(х) {х})= 1Н! (XDx)\ {х}）、 обычный предел функции A до x ^ x также называется ее двусторонним пределом.

Пересечение П (x) {{x. x}и ((x) {{x. x} ((x) окрестность x) называется его односторонней окрестностью (правой и левой соответственно). ясно, что определение одностороннего предела функции происходит из определения предела функции, когда окрестность x заменяется соответствующей односторонней окрестностью. Пересечение ((x) {{x. X x}и P (x) P {x. где ((x)-проколотая окрестность точки x и называется проколотой односторонней окрестностью (правой и левой рукой соответственно). В качестве примера одностороннего ограничения, рассмотрим функцию y = 8nnx (см. пример в§ 5.2 и рис. 19). понятие ограничения слева (справа) от x ^ x имеет смысл только в том случае, если точка x является точкой касания множества, в котором взято ограничение, как и понятие ограничения при определенном point.

• In в этом случае множество. Каждый набор из них Теперь сторона точки x, следовательно, x = 8ir X ^(x), и соответственно, только в случае x = mT X ^(x) будет точкой касания. Теорема 2.Функция A. X ^ K имеет предел точек x = 8ir X ^(x)= mT X ^(x), X ^(x) Φ, X ^(x) Φ.Функция A имеет ограничения как слева, так и справа, и они являются equal. In в этом случае их сумма является пределом функции в точке X. Результаты. Для признака A в точке x ^ K существовало двустороннее ограничение на множество X \ {x}. необходимо и достаточно, чтобы односторонние ограничения A (x -) существовали и были равны друг другу. Икс.)+ Доказательство теоремы. В самом деле, пусть это будет А. Х ^ К, Х = 8ir Х ^(Х)= Т Х (Х) и ИТ (х)= a, то есть х<sup class=»reg»>®</sup>х Функция A имеет предел в точке x (относительно множества X).

Однако в этот момент существует также такое же ограничение для любого множества(см. 5.4 Лемма 1), в частности пределы для множества X ^(x) и X (x). является пределом в x ^ Xo, равным a. и наоборот, предположим, что условие (5.34) выполняется для точки x = sup XDx)= m4 XDx).Тогда X = XDx） Тогда существует предел It /(x)= a, согласно Лемме 5. Х-Х Х Для проверки правильности метода индукции достаточно применить теорему 2 к ограничению функции A. добавьте X ^ K к множеству X \ {x}. Я не уверен. Если один из односторонних пределов функции в определенной точке совпадает со значением функции в этой точке, то такая функция называется односторонней в распространении тонны травы. Мы сформулируем это определение более подробно.

При принятии решения об односторонних ограничениях удобно использовать понятие «одностороннее соседство» точек. Людмила Фирмаль

• Определение 11. Frnnray A. X ^ K называется непрерывным в случае тонны x∈X, непрерывным слева и непрерывным справа. Если МСЭ A (x)= A (x), то МСЭ A (x)= A (x), соответственно. Образцы. Рассмотрим функцию, которая определена по числовой оси и равна максимальному целому числу, меньшему или равному x для каждого действительного x. эта функция имеет специальное обозначение y = [x], которое считывается. «Y-целая часть числа x» или»y равно eIe x».Подобный этому [x] = n€2, N x и n + 1 x. График функции [x] показан на рисунке 24.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Второе определение предела функции.	Свойства пределов функций.
Предел функции по объединению множеств.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции.