Оглавление:
Многочлен 
называют однородным многочленом степени 
, если 
Например, многочлен 
является однородным многочленом третьей степени. Система двух уравнений с двумя неизвестными вида
является однородной, так как левые части уравнений (1) и (2) представляют собой однородные многочлены второй степени.
Рассмотрим сначала пример однородной системы, в которой одно из чисел 
, 
равно нулю.
Пример №171.
Решить систему уравнений
Решение:
Если положить 
, то из уравнения (3) находим 
. Но пара чисел 
не удовлетворяет уравнению (4). Поэтому,
разделив обе части уравнения (3) на 
, получим уравнение
которое вместе с уравнением (4) образует систему, равносильную исходной. Из уравнения (5) находим, что 
или 
т. е. 
или 
Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих систем:
Из первой системы получаем уравнение 
, не имеющее действительных корней.
Решив вторую систему, находим два решения 
и 
исходной системы.
Ответ. , .
Рассмотрим теперь однородную систему вида (1), (2), в которой 
Пример №172.
Решить систему уравнений
Решение:
Первый способ. Сведем эту систему к системе того же вида, у которой одно из чисел , равно нулю. Умножим первое уравнение на 
, а второе на 
и сложим полученные уравнения.
В результате придем к уравнению
которое вместе в первым уравнением образует систему, равносильную данной. Как и в предыдущем примере, пара чисел не является решением исходной системы. Поэтому последнее уравнение равносильно уравнению
откуда 
Если 
то из первого уравнения исходной системы получаем 
, откуда 
и, следовательно, 
х2 = 2.
Аналогично, если 
то 
Ответ. 
Второй способ. Разделим почленно уравнения данной системы, а затем разделим числитель и знаменатель в левой части полученного уравнения на 
. В результате придем к уравнению
которое можно записать в виде
где 
Уравнение (7) совпадает с уравнением (6).
Рассмотрим теперь систему, у которой левые части уравнений являются однородными многочленами третьей степени.
Пример №173.
Решить систему уравнений
Решение:
Разложив левые части уравнений на множители, запишем систему в виде
Разделив уравнения этой системы почленно, получим уравнение
которое вместе с первым уравнением исходной системы образует систему, равносильную исходной.
Полагая 
получаем 
откуда 
т. е. 
Если 
то из первого уравнения находим 
откуда 
(другие корни уравнения 
не являются действительными) и поэтому 
Аналогично, если 
то 
откуда 
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
