Контрольная работа Д2.
Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами 21 и 1), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси
с угловой скоростью
(рис. Д2а). В момент времени
на вал начинает действовать вращающий момент
, направленный противоположно
; одновременно груз
массой
, находящийся в желобе
в точке
, начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону
.
Дано:

( — в метрах;
— в секундах),

Определить

закон изменения угловой скорости платформы.
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза . Для определения
применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси
:

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции
и вращающий момент
. Так как силы
и
параллельны оси
, а реакции
и
эту ось пересекают, то их моменты относительно оси
равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление
(т. е. против хода часовой стрелки), получим
и уравнение (1) примет такой вид:

Умножая обе части этого уравнения на и интегрируя, получим

Для рассматриваемой механической системы

где и
— кинетические моменты платформы и груза
соответственно. Так как платформа вращается вокруг оси
, то
. Значение
найдем по теореме Гюйгенса:

( — момент инерции относительно оси
параллельной оси
и проходящей через центр
платформы). Но, как известно,

Тогда

Следовательно,

Для определения обратимся к рис. Д5, б и рассмотрим движение груза
как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси
переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза

Так как груз движется по закону

то

изображаем вектор на рис. Д2 б с учетом знака
(при
направление
было бы противоположным). Затем, учитывая направление о, изображаем вектор
численно
. Тогда, по теореме Вариньона,

Но на рис. Д2 б видно, что

Подставляя эту величину в равенство (6), а затем значения и
из (б) и (5) в равенство (4), получим с учетом данных задачи

Тогда уравнение (3), где примет вид

Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при . Получим
. При этом значении
из уравнения (8) находим искомую зависимость
от
. Ответ:
, где
— в секундах,
.