Контрольная работа Д2.
Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами 21 и 1), имеющая массу 
жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси 
с угловой скоростью 
(рис. Д2а). В момент времени 
на вал начинает действовать вращающий момент 
, направленный противоположно ; одновременно груз 
массой 
, находящийся в желобе 
в точке 
, начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону 
.
Дано:
(
— в метрах; 
— в секундах),
Определить
закон изменения угловой скорости платформы.
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза . Для определения 
применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси :
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести 
реакции 
и вращающий момент 
. Так как силы 
и 
параллельны оси , а реакции 
и 
эту ось пересекают, то их моменты относительно оси равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим 
и уравнение (1) примет такой вид:
Умножая обе части этого уравнения на 
и интегрируя, получим
Для рассматриваемой механической системы
где 
и 
— кинетические моменты платформы и груза соответственно. Так как платформа вращается вокруг оси , то 
. Значение 
найдем по теореме Гюйгенса:
(
— момент инерции относительно оси 
параллельной оси и проходящей через центр платформы). Но, как известно,
Тогда
Следовательно,
Для определения 
обратимся к рис. Д5, б и рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза
Так как груз движется по закону
то
изображаем вектор 
на рис. Д2 б с учетом знака 
(при 
направление было бы противоположным). Затем, учитывая направление о, изображаем вектор 
численно 
. Тогда, по теореме Вариньона,
Но на рис. Д2 б видно, что
Подставляя эту величину в равенство (6), а затем значения 
и 
из (б) и (5) в равенство (4), получим с учетом данных задачи
Тогда уравнение (3), где 
примет вид
Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при 
. Получим 
. При этом значении 
из уравнения (8) находим искомую зависимость 
от 
. Ответ: 
, где — в секундах, 
.
