Оглавление:
Общий неявный метод простой итерации
- Общий неявный метод простой итерации. Повернись снова Для решения линейной системы F.1), но на этот раз заменить итерацию Последовательность F.3) Более общие повторяющиеся последовательности Определяется соотношением BXk + 1 до Xk + AXk = F, F.13) Где B представляет «легко обратимый» квад Является матрицей n-го порядка, а r является стационарным параметром.
- Такой Метод, который составляет итерационную последовательность и называется Неявная простая итерация. Предыдущий отзыв Пункт простой итерации явного метода взят из неявного метода В некоторых случаях B = E, где .E — единичная матрица порядка n. Сформулировать это удобным способом для приложения Общие неявные простые итерационные условия сходимости.
Например рассмотрим некоторые концепции, представленные в предыдущей главе. Людмила Фирмаль
Помните, что матрица А называется положительно определенной Если (AX, X)> 0 для ненулевого вектора X. 5 это Оказалось необходимым и достаточным условием для положительного Определенность симметричной матрицы A (или того же, Позитив присоединенного линейного оператора A) имеет вид Все собственные значения этой матрицы (это оператор).
Если матрица A положительно определена, Я согласен написать неравенство A> 0. Тогда, Если неравенство B> A (или A 0 (т.е. Матрица B-A является положительно определенной). Докажем следующую замечательную теорему 4). Теорема 6.2 (теорема А.А. Самарского). Матрица А Симметричный, условие A> 0, B> 0 ( Вообще говоря, общность матрицы B не предполагается).
Тогда итерационная последовательность Определяется От BXk + 1 до Xk + AHk = F, F.13) Для любого выбора приближения нулевого порядка Xq сходится точно Этого достаточно для решения X системы AX = F. условия 2B> tA, tA> 0. F.14) При дополнительном предположении, что матрица B является явной Симметрия, условие F.14) не только достаточно Требуется для сходимости указанной последовательности итераций Для любого выбора приближения нулевого порядка Xq.
Доказательство. 1) Достаточно. Сначала оцените Ошибка Zk = Xk-X. Х удовлетворяет уравнению, поэтому Преобразование AX = F, Xk в отношение F.13) дает отношение к Zj * 4) Эта теорема является частным случаем, доказанным известным советским Математик А. А. Самара — гораздо более общее утверждение. (Samar Введение в теорию неба А.А. Разностная схема. -М. : Наука, 1971. ) шитье БЗк + 1р Зк + АЖ = 0. F.15)
Устанавливает так называемую основную энергию для ошибки Zk соотношение Умножить F.15) на скалярный вектор 2 (Zk + l-Zk) = 2 Мы получаем равенство o ^ (PZk + 1 Zk Zk + 1 Zk \, v ^ 7 ^ fe + l ^ fe \ 2r ± J, + It AZk, = 0. V r t) \ t) F.16) При использовании обозначений С = 2В-тА и соотношений _ Zk + i + Zk _ Zk + i-Zk _ Zk + i-Zk _ r Zk + i-Zk k ~ 2 2 ~ 2 2 ‘r’ Уравнение F.16) можно переписать как -zk zk + 1-zk \ + (A (Zfc + i + Zk), Zk + i-Zk) = 0 т т дж F.17)
Кроме того, из-за симметрии матрицы A, второй член Мина F.17 равна (AZk + i, Zk + i) — (AZkj Zk). Это приносит нам Основное соотношение энергии: i-Zk Zk + 1-Zk \ , + {AZk + i, Zk + i) = (AZk, Zk). т) F.18) F.14) доказать достаточность условий Докажите сходимость к Нулевая последовательность {|| Z ^ ||}. Коэффициент основной энергии и Детерминизм матрицы C = 2B-tA равен (AZk + i, Zk + i) ^ (AZk, Zk), то есть без роста Идентичность {(AZk, Zk)}.
Кроме того, условие A> 0 Эта последовательность сходится, потому что она ограничена нулем или меньше. Однако из основного энергетического соотношения = 0 F.19) Всегда для положительно определенной матрицы C Для любого вектора X существует S> 0 такое, что (CX, X) ^ 8 (X, X) Или тот же || X || 2 ^ A / 5) (CX, X). Последнее неравенство Можно сделать вывод, что приведенное выше равно нулю La F.19) следует lim \ Zk + 1-Zk \ = 0. F.20) к -> — оо
Чтобы завершить доказательство достаточности, вы должны использовать Сопоставленная От BZk + 1 до Zk + AZk = 0, R Оттуда положительно определенная благодаря существованию Матрица A ~ 1 ограниченной обратной матрицы A Zk = -A до l- ^ (Zk + 1-Zk). Последнее равенство и отношения F.20) lim / ^ oo \ Zk \ = 0. Достаточность доказана. Чтобы доказать необходимость условия, добавьте F.14)
Предположение, что матрица B симметрична, привлекательно Из следующей леммы. Лемма. C — симметричная матрица, B — Симметричная положительно определенная матрица. Далее матрица CA C четко определяется только тогда, когда: Если положительный Все собственные значения Задача СХ = ХВХ. Для доказательства леммы используется матрица.
Если симметрично и положительно определено, (спасибо Статья 6 § 5 гл. 5.24. 5) есть позитивное самопровозглашение Конкретный оператор B1 / 2 подобен соответствующей матрице В случае B1! 2 уравнение B1! 2 x B1! 2 верно. Матрица B1! 2 Если оно положительно определено и симметрично, для этого Существует ограниченный симметричный обратный. Обозначается от B до X12.
Кроме того, заменив X-B1! 2 • Y и умножив, Оставьте проблему собственных значений CX в матрице B ~ X12- -ХВХ переходит в проблему эквивалентных собственных значений B ~ X12 • C • B ~ XI2Y «Итак, докажем лемму Намеренно симметричная матрица B ~ X12 • C • B ~ X12 Положительно определен, только если Является ли положительно определенная матрица С.
Это будет следовать сразу Для ненулевых векторов X и Y Реляционное выражение Y = B ~ X12 • X, уравнение (B ~ ^ 2 • C-B ~ * / 2X, X) = (C-B ~ * / 2X, B ~ ^ 2 • X) = (C, Y). Лемма доказана. Это доказывает необходимость: vii F.14) Теорема при дополнительных предположениях 6.2 Матрица B симметрична. 2) Нужно.
- Зависит от утверждения Утверждение из леммы, доказанной выше: если матрица является симметричной, Симметричная и положительно определенная, матрица C симметрична. Если метрика не является положительно определенной, проблема выше Собственное значение СХ = ХВХ имеет хотя бы одно неположительное Реальное собственное значение X. Первое условие условия F.14) не выполняется, т.е.
Предполагая C = 2B-r A в вышеупомянутом выводе, Задача на собственные значения (2B-mA) X = XBX Имеет хотя бы одно неположительное собственное значение X. Проверенный Затем выберите собственный вектор, соответствующий Xs-X (s), и выберите ноль Приблизительное Xq, условие Zq = X ^ s \ Далее перепишите уравнение ошибки F.15) в следующем формате: BZk + i = —BZk + BВ-rA) Zk, Равно 0, 1, … Zk = (-1 + Xs) kX ^ s \ …
Требование 2B-rA> 0 выполнено. Людмила Фирмаль
Ясно, что \ Zk \ не стремится к нулю, потому что -1 + Xs <-1. Когда к-оо. Аналогично, если второе условие не выполняется. F.14), то есть условие mA> 0. В этом случае Вывод, C-r A должен быть включен. В этом случае Задача r AX = XBX имеет хотя бы одно неположительное собственное значение. Выберите значение Xs ноль с собственным вектором X ^ SK
Аппроксимация Xq такая, что уравнение Zq = X ^ Перепишите F.15) в эквивалентную форму BZ ^ + i = BZ ^ -tAZ ^ Мы получаем Поскольку A ^ 0, ясно, что \ Zk \ не стремится к нулю. к-> оо. Теорема 6.2 полностью доказана. Теперь давайте перейдем к общей неявной оценке сходимости. Простой итерационный метод. А.А., затем Самарский 5) Проблема выбора значения параметра m для обеспечения Более быстрое сближение.
Матрица B симметрична, Это четко определено. Использование такой матрицы естественно представить Так называемое скалярное произведение энергии двух произведений Установите свободные векторы X и Y равными (BX, Y) = (X, BY). Такое скалярное произведение представлено символом (X, Y) b- Используя матрицу B1! 2, это скалярное произведение Запишите в формате (X, Y) B = (B1 / 2B1 / 2X, Y) = (Bg / 2X, BXI2Y).
С помощью Справедливость с использованием последнего равенства Скалярное произведение четырех аксиом скаляра Работы (см. 1§1 главу 4). Кроме того, естественно ввести энергетическую норму вектора X. Живое -y / (BX, X) равно l / (X, X). Это энергетический стандарт Обозначает символ || X || #. Две разные нормы одного и того же набора векторов || X || / И || X || //
Если есть такое положительное значение, оно называется эквивалентным Постоянная постоянная 71 и 72 Энергетическая норма вектора X и его нормальная норма ма эквивалентно. На самом деле справедливость не Неравенство 7i11-X «|| ^ II- ^ 11? -Неравенство 7i (^ X) ^ (BX, X) Справедливость определяется из определенности матрицы B Неравенства || X || # ^ 7211- ^ 11? м-неравенство (?? x, x) ^ 7lll ^ ll2 you ~
Поток и оценка F.7 из неравенства Коши-Бунаковского (достаточно) Положи 7 | = 11 ^ 11) — Установлена эквивалентность между нормой и стандартами энергии Последовательность || X & || U \ Hk \ c- Для дальнейшего рассуждения, энергетическая норма Более удобный, чем обычный стандарт. Докажем следующую основную теорему.
5) Введение в Самару А. А. Теория разностных схем. -М. : Наука, 1971. Самальский А.А., Глын А. .B. Устойчивость разностной схемы. -М. : Наука, 1973. Теорема 6.3 (теорема А.А. Самарского). Матрицы А и В Симметричный и положительно определенный, Zk является Общий неявный метод простой итерации. тогда Если p <1, неравенство \ Zk \ B ^ ^ || ^ o || Достаточно, чтобы соответствовать условию Ll? B <: A ^! ± PB. F.21) T T Замечания.
А.А.Самарский доказал, что условие F.21) не является Достаточно, но также необходимо для справедливости и неравенства || ^ || b ^ / ^ Н ^ оНб, но я не буду это объяснять. Доказательство теоремы 6.3. Для удобства разбейте док Двухэтапное обязательство. 1 °). Симметричный и положительный Конкретные матрицы А и В удовлетворяют требованиям
Самары F.14), то (BZk + u Zk + 1) ^ (BZk, Zk). Умножим уравнение F.15) на 2rZk + i = r (Zk + i + Zk) + на скаляр + r (Zk + 1-Zk), получить (B (Zk + 1-Zk), Zk + 1 + Zk) + (B (Zk + 1-Zk), Zk + 1-Zk) + + r (AZk + 1, Zk + 1 + Zk) + r (AZk, Zk + 1-Zk) = 0 В последнем равенстве замените AZk на разницу \ Zk) — \ A (Zk + 1-Zk). Далее, учитывая симметрию матрицы A, Свойства (A (Zk + 1-Zk), Zk + 1 + Zk) = (Zk + 1-Zk, A (Zk + 1 + Zk)), Мы получаем личность (B (Zk + 1-Zk), Zk + 1 + Zk) + — ^ A) (Zk + 1-Zk), Zk + 1 + Zk) + ^ 1 + Zk), Zk + 1 + Zk) = 0
Учитывая, что (согласно самарскому условию F.14) оператор tA B- (m / 2) A положительно определен, Последнее выявление следующего неравенства: (B (Zk + 1-Zk), Zk + 1 + Zk) ^ 0. Это неравенство эквивалентно неравенству (BZk + i, Zk + i) ^ (BZk, Zk) (для симметрии Тождественность операторов (BZk + u zk) = (Zk + i, BZk)). 2 °) где p <1, условие Самальского F.21) выполнено.
Докажите справедливость неравенства || ^ || b ^ ^ || ^ o || b- Введите Zk = pkVk- и очевидно Zk + l-Zk = Pk + 1Vk + 1-PkVk = pk + 1 (Vk + 1-Vk) -A-p) PkVk. Подставляя эти значения Zk и Zk + i-Zk в уравнение F.15) Если мы оценим уменьшение за счет pk, мы получим следующее соотношение для величины Vk: Шитье: B k + 1 до k + AVk = 0, F.22) T Где B = rV, A-A-B
Операторы B и A удовлетворяют условию согласно условию F.21) Ям тА> О, 2Б> тА. Эти условия и формула F.22) Vk, Z /, первый Шаг Vk означает следующую оценку: (BVk + i, V ^ + i) ^ (BVk, Vk). Из этой оценки, если B = pB: (BVk + u Vk + 1) ^ (BVk, Vk). Последовательное применение этого неравенства кювет k = 0, 1, … — отношение (BVk, Vk) ^ (BVo, Vo), a Умножьте последние отношения на r2k Расчетное 6) (BZk, Zk) <p2h (BZo, Zq).
Следовательно, неравенство || ^ || b ^ ^ ^ || ^ o || б доказано. Доказательство теоремы 6.3 завершено. В заключение, применяя теорему Самарского 6.3, Проблема скорости выбора такого значения такого параметра r Сходимость максимальная. Из результатов, доказанных в теореме 6.3, ki || ^ || b ^ ^ || ^ o || b
Эта проблема приведет к открытию Значение r, которое достигает минимального значения Функция p = p (m). Поскольку матрицы A и B являются симметричными и положительно определенными, При делении есть положительные постоянные 71 и 72, поэтому Неравенство jiB ^ A ^ 72 ^ справедливо. Учитывая 7i и 72, эти неравенства дают 7). Только соответствие 6) Рассмотрим Z ^ 7)
Константы 71 и 72 естественно называются эквивалентными константами Матрица А и Б. Для обмена матриц A и B на постоянные 71 и 72, Задача минимальное и максимальное собственные значения AX = = ххх. Неравенства, записанные с условием F.21), получаем Минимальное значение p достигается при условии A-p) / m = 71. + p) / m = 72, из которого получается оптимальное значение m = 2 / G1 + 72 И минимальное значение p равно G2-7i) / G2 + 7i).
Частный случай нашего обзора Простой метод простой итерации, изученный в разделе 1. Ссылка как это сделать Все результаты мы получаем. В следующих трех абзацах, используя общий неявный метод, Универсальная итерация и теорема Самарского 6.2 Установить с помощью наиболее распространенных итерационных методов Их сближение.
Смотрите также:
| Ортогональные операторы | Модифицированный метод простой итерации |
| Метод простой итерации (метод Якоби) | Метод Зеделя |
