Оглавление:
Общие свойства определенного интеграла
- Общие свойства для конкретной интеграции. При определении определенного интеграла в качестве предела суммы мы предполагали, что 1 ° / непрерывно и 2 ° a b по уравнению а б но J f (x) dx = 0 И если a = b, уравнение (2) Если вы определяете интегралы с помощью функции F (x), эти определения становятся теоремами. на самом деле F (b) -F (a) = — {F (a) -F (b)}, F (a) -F (a) = 0. и J f (x) dx — \ — ^ f (X) dx = J / (*) dx;
И о (4) §kf (x) dx = k j ‘/ () dx \ б (5) j «{/ () +» W} dx = j ‘f {x) + (*) dx. а . Следующая теорема также играет важную роль. б (6) Если f (x) ^ 0 для a ^ x ^ b>, то Jf (x) dx ^ O но Обратите внимание, что сумма 156 слагаемых не может быть отрицательной.
Читателю рекомендуется выполнить формальное доказательство этих свойств, начиная с (а) определения интеграла с использованием функции F (x) и (0), определяющей его как предел суммы Людмила Фирмаль
Далее показано, что интегральное значение не может быть нулевым, если f (x) не равно нулю (различные примеры, стр. 43, 338). Это также может быть выведено из первого обследования в пункте 122. (7) Для H ^ f (x) ^ K против a ^ x ^ b, б H [b-a) ^ J / (x) dx ^ K (b-a). но Это немедленно подтверждается применением свойства (6) к функциям f (x) -H и K — fix. (8) о j7 (x) i * = (* -a) / («), Где я нахожусь между а и б. Это результат свойства (7). Фактически, H может принимать минимальное значение f (x) в (a, b), а K может принимать максимальное значение. Интеграл равен i \ (b-a), а m) находится между H и K.
Однако, поскольку f (x) непрерывна, должна быть S, такая как f ($) = 7] (см. §101). Если F (x) является интегралом от f (x), свойство (8) можно записать в виде F (b) -F (a) — (b-a) F (i), Следовательно, мы можем видеть, что это свойство является частным случаем теоремы о среднем значении §126. Свойство (8) можно назвать первой теоремой о среднем значении для интегральных вычислений.
| Определенный интеграл | Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона |
| Площадь сектора круга. Круговые функции | Интегралы от комплексных функций действительного переменного |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- (9) Обобщенная теорема о среднем для интегралов. Если оно положительно, а H и K определены как в теореме (7), б б И J 9 (x) dx ^ j7c )? () Dx ^ K J 9 (*) tf * но да б J7 (*) * (■ ) <* = / («) J \ p (jc) dx, а Где я нахожусь между а и б. Это сразу доказывается применением теоремы (6) к интегралу б j ‘{/ (JO-A} 9 и J {* — / <)} 9 () Тем не менее, (10) Основная теорема интегрального расчета. функция X F (x) = ^ f (t) dt но Имеет производную, равную f (x). Это уже доказано в 148 г., но здесь представляется целесообразным сформулировать этот результат в форме формальной теоремы.
Из этой теоремы видно, что F (q) является непрерывной функцией от x, как уже упоминалось в §162. Людмила Фирмаль
