- В задаче статистической кинетики, а в некоторых случаях и теории броуновского движения, главную роль играет концепция Маркова. Марковская цепь теории вероятностей*) (дискретная) означает следующее. Любая Система 1, 2, 3,…пусть это одно из n состояний, выраженное числом n. предположим, что состояние можно наблюдать через определенные промежутки времени, например каждую секунду, в момент, когда 4 = 0. 1, 2,…Со временем может произойти переход из одного состояния в другое.
Если вероятность того, что система будет находиться в k-ом состоянии во время 4-го наблюдения, полностью определяется установкой состояния системы (например, I) для одного из предыдущих наблюдений во времени 4, то число состояний, которые система примет со временем, является цепью малкоффа » 4.Эта вероятность может быть описана в виде и>(4.48, 4; 4, k).Можно назвать вероятность перехода из состояния I в состояние k во времени * ) Ссылка: А. А. Марков. Расчет вероятностей-4-е изд.- М. Л. Государственное издательство, 1924; добавление, » большой случай цепного тестирования.«Для обсуждения дискретных цепей, связанных с физическими проблемами, см. Mieses R. см.
16.[Гнеденко Б. В. курс теории вероятностей-5-е изд.- Мл Наука,1969.] 4 hif4 до 4 H. эта вероятность перехода не зависит от условий, в которых присутствовала система, но, как известно, составляет 4 MRT в это время. Концепция Марковской цепи заключается в том, что если состояние системы можно определить на любом малом интервале (I-непрерывный параметр) и параметры X, x1, то они изменяются непрерывно… xn может быть расширен, чтобы определить состояние системы, установив в нашей задаче, мы можем определить положение, в котором некоторые из этих параметров являются скоростью system. In в дальнейшем, ради краткости, мы часто записываем 1 параметр X.
Ряд состояний, определяемых таким образом, если можно ввести вероятность перехода, образует Марковскую цепь, а из>(4°x, x» -, 4, x) состояния, в котором система находилась в момент 4 x x-время 4 X + Lx, и эта вероятность полностью определяется установкой x на любой момент 4 X + Lx. Если последовательность состояний системы во времени считать Марковской цепью, то точное определение начального состояния определяет вероятность состояния системы для последующих моментов(а не само состояние, так как есть механизм).
Конечно, мы понимаем слово «вероятность»в»физическом»определении («3«).Мы считаем, что возможные значения импульсного состояния момента 4 образуют «коллектив», а вероятность u> 4x дает число относительных вхождений этого коллективного состояния (x, x + 4x).Вопрос о соотношении между вероятностью состояния и средним временем, введенным таким образом, рассматривается в§ 60 ниже. Понятие непрерывной Марковской цепи для случайной величины x можно получить следующим образом: Предположим, что любая 4> 4e величина x (4) может быть выражена как функция X и a = 4 (4, 4).
Где a-случайная величина (предполагается, что задан ее закон распределения, go (4 Kis, 4 aMa)), интервал (1″, О и различные (неперекрывающиеся) периоды (4″, 4)) в зависимости от значения a статистически независимы, поскольку для a заданы распределения вероятностей. Тогда это определит распределение вероятностей x в заданной ци, то есть вероятность перехода (в зависимости от 4α, xn, 4).Замена. Заметим, что если значения a в разных временных интервалах не являются статистически независимыми, то сумма x (4) перестает быть цепочкой Маркова. — a (4,, 4″) и по соединению ace, в этом случае вероятность зависимости от ai u’a] (4ₗ ₎, 4, A) изменяется da.
Задача x полностью определяет вероятность перехода, опа зависит от предыдущего состояния. Совокупность значений координат броуновской частицы в рамках приведенной выше теории является Марковской chain. In факт, согласно (53.5), x может быть записан в формате, подобном (54.1). х = х, е ’+ а(0, 4), (54.2） Случайная величина. при статистической независимости 4L ’(4) временного интервала перекрытия pere значение a также статистически не зависит от интервала перекрытия pere. Например, в случае O 4 4′ 4″ следует Марковская цепочка x с учетом приведенных выше (0, 4) и (4′, 4«).
Итак, в теории броуновского движения, рассматривая ряд состояний частиц как Марковскую цепь, мы делаем четкое предположение, что удар не зависит от различных временных интервалов. Конечно, Марковская цепь-не самая распространенная возможная схема случайного процесса. Однако в статистической физике случайный процесс обычно рассматривается как процесс формирования Маркова chain. In во многих случаях процесс можно представить в виде Марковской цепи.
Плотность вероятности перехода w (4 |x; 4, x) цепи Маркова удовлетворяет следующему интегральному уравнению СМО-Лучовского*): у>(4Н, хп; 4 + м, х)=£а#,, х. 4, H)и>(4,ч; 4 + т, х) ¿г,(54.3） Здесь Интеграл распространяется на всю область изменения величины x(или, для многих параметров, всех циклических x, x:,…A, x.). фактически вероятность перехода из состояния x >в состояние (x, x + 1x) за период времени (4₀, 4 + m) равна сумме произведения вероятности перехода за период времени (4₀, 4₀, 4₀, 4 ) в любое состояние (s, g + g / g) и из него (4,4 + T) в состояние x (x, + 4 • ) См. сборник: Эйнштейн А. упражнение смольковского М. Брауна: Пер. — М..
- ОНТИ, 1936.Математическая теория связанных с этим вопросов разработана в следующей работе: A. No. Колмогоров. Методы анализа теории вероятностей-УМН, 1938, № 5, С. С. 5. Кроме того, очевидно £w (4n, x *; 4, x) Λ= 1. Если вероятность перехода зависит только от разности 4 -₀, то есть И>₀, х₀; 4, x)= u>(xn, 4-4, x). (54.4） Случайный процесс называется однородным во времени. Исправлены проблемы флуктуации внешней системы С точки зрения условий, в частности: теплового равновесия, это происходит Всегда.
Для 4 — * o° вероятности перехода имеют тенденцию к пику 2-й предел： ПСШ(х, 4, х)= Вт(х）、 Он говорит, что существует предельная или стационарная вероятность, не зависящая от печального состояния системы. Заранее определенные вероятности удовлетворяют следующим уравнениям, полученным из (54.3) при переходе к пределу*■ * «： (54.5） Вы также можете найти вероятность состояния за один раз 4, если начальное условие указано в настоящее время 4₀ То есть вероятность определенного значения x. вероятности того, что нам придется это сделать, очевидны.
И, как вы можете видеть, умножая и интегрируя> ₀ (хо) с (54.3) pa, уравнение у>(4- | -г, х)= / Ш(4, х)и>(4, х; 4 + м, х) г. (54.7） 4 = 0. (54.8） В случае 4 u>(4, x) она становится стационарной вероятностью w (x) (если присутствует).Если распределение wd(x2) первого момента стационарно: u0 (0,x2)= w (x.), то по (54.4) следующий момент будет таким же. Если сделать много предположений о вероятности перехода, то решение интегральных уравнений Смолуховского (54.3) можно свести к решению уравнений в частных производных, так называемых уравнений Эйнштейна-Фоккера. Я подумаю об этом.
Сделайте следующие допущения:*).Прежде всего, мы предполагаем, что процесс будет происходить таким образом, что существует конечный предел. Км = М-(А-х) Ж(4, х; 4 + м, R) Λ= С(4, х), (54.9） ⁸ 〜Д Т⁾-= 1!T 1£(g-x) и>(4, x; 4 + T, a) ¿2 = 2B (4, x). (54.10） Значение 4 (4, x) указывает на среднюю скорость систематического изменения x, а значение B (4, x) указывает на меру силы удара**).Они являются визитной карточкой этого процесса. Так что (как в приведенном выше случае) я предположил, что (р-х) р-Dx1 будет пропорциональна м малого м.2-ое предположение заключается в том, что вероятность существенного изменения в случае малых х очень мала и, как правило, только чтобы пуля ад.
Это требование может быть выражено следующим образом Это условие легко понять, учитывая, что для малых 2 —х величина| r-x | *очень мала, а для больших 2-х, w (t, x; 4 + m, r)необходимо работать очень быстро. Поставленная таким образом задача может быть сопоставлена с символическим уравнением движения. x = 4 (4, x)+случайное встряхивание. Умножьте(54.3)на произвольную функцию умножьте (x), чтобы получить уравнение Эйнштейна-Фоккера.
Эта функция исчезает вместе с производной на границе переменной области, например, интегрируясь по этой области от x =-«до+°.И затем… 19(х) Ш ( ₀ , ₀; 1 + т, х) DX = = Г» ’ («О. о! Г»(1, р; 1 + т, х) Д (х)&С. x-разверните правую часть7 x)степенным рядом r, перенесите первый член в левую часть и разделите путь m следующим образом: Значение £находится между r и X. Для 17 ’«(k) 1//, член с производной 3-го порядка справа меньше M \ x-x | ’ / 6m и стремится к нулю как m — * 0 по (54.11). Предел. Y u>(α, x,; 1, q) (₉’(2) A(α,2)+ q ’ (2) B (1,2)] ¿A. (54.12) выполнение правого интеграла по компоненте, учитывая, что граница q-q ’= 0, и изменение обозначения интегральной переменной = 0.
Как это уравнение работает в любом случае*) плотность вероятности перехода u «(t», x; t, x), что означает уравнение Эйнштейна-Фоккера： (54.13） Это тепловое уравнение. Теплопроводности (параболического типа).Мы должны найти его решение.、 Вычислительная Лемма вариации,■D. методы математической физики, Москва, 1951, вып. Я, чап. IV, 5 3, 1 стр. Удовлетворяет условию нормализации (54.4) и исчезает при 4 = 0 во всех местах, кроме x-xn. Тот же тип решения проблемы теплопередачи с точки зрения.
Вероятность состояния x в момент времени 4 для данного начального распределения u> ₀ (x₁), u>(4, x) также удовлетворяет уравнению Эйнштейна-Фокера, так что его можно легко проверить, подставив (54.7) вместо (54.13).Его начальное условие задается формулой (54.8)*). Уравнение Эйнштейна-Фоккера (54.13) допускает следующие визуальные интерпретации: предположим, что существует большое число коричневых частиц, появляющихся при 4₀ от x n, которые движутся независимо друг от друга.
Концентрация в точке x времени 4, u(4, Xo!)4, пропорционально x).Поток частиц I состоит из «гидродинамического» потока Au>.Где A-скорость систематического движения, а так как диффузионный поток равен q (Bt)/ dx, то E = Au> — q (Bt) / dx. Формула (54.13) является непрерывной формулой г + г -°- Предположим, что A и B не зависят от 4.Стационарное решение, если 5u> / 34 = 0, должно удовлетворять (54.13). Д(Ж>)] = 0、 ⁽⁽,- АС= >⁽⁾ если область изменения x простирается от- » ■ДО+», то в бесконечности (u> = du / dx-O**), следовательно、 Я найду тебя отсюда. Константа C равна Условие поставки 54.4).
Кроме предположения о том, что состояние системы является Марковской цепью, теории процесса функционирования системы при определенных внешних условиях, например, в теории флуктуации изолированной системы или изотермической системы, не существует.、 Есть еще одно 2-е фундаментальное предположение. Предполагается, что вероятность перехода такова, что существует ограниченная (стационарная) вероятность состояния. Эта стационарная вероятность является» вероятностью состояния » независимо от начального состояния и учитывается в термодинамической статистике.
Смотрите также:
