Оглавление:
Обратное преобразование Лапласа
Теоремы разложения
Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению находить соответствующий ему оригинал
.
Теорема 79.1. Если функция в окрестности точки
может быть представлена в виде ряда Лорана

то функция

является оригиналом, имеющим изображение , т. е.

Примем эту теорему без доказательства.
Пример №79.1.
Найти оригинал , если

Решение:
Имеем

Следовательно, на основании теоремы 79.1
.
Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки
:

где , т. е.
. Следовательно,
, т. е.
.
Теорема 79.2. Если правильная рациональная дробь, знаменатель которой
имеет лишь простые корни (нули)
, то функция

является оригиналом, имеющим изображение .
Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена
ниже степени многочлена
); в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения
(п. 78.1), т. е.
не может быть изображением.
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

где — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента
этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на
:

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Итак, . Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на
) найдем
.
Подставляя найденные значения в равенство (79.2), получим

Так как по формуле (78.3)

то на основании свойства линейности имеем

Замечание. Легко заметить., что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции
в простых полюсах (формула (77.4)):
.
Можно показать, что если — правильная дробь, но корни (нули)
знаменателя
имеют кратности
соответственно, то в этом случае оригинал изображения
определяется формулой

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема 79.3. Если изображение является дробно-рациональной функцией от
и
— простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал
, соответствующий изображению
, определяется формулой

Формула Римана-Меллина
Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

где интеграл берется вдоль любой прямой .
При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию
стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.
Пример №79.2.
Найти оригинал по его изображению .
Решение:
Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).
Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:
корни знаменателя
и
и, согласно формуле (79.1),

Пример №79.3.
Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как .
Решение:
Здесь
— простой корень знаменателя,
— 3-кратный корень (
). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

т. е. .
Приведем другой способ нахождения . Разобьем дробь
на сумму простейших дробей:
. Следовательно,
.
Приведем третий способ нахождения . Представим
как произведение
, и так как
, то, пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов |
Свойства преобразования Лапласа |
Действия над матрицами |
Элементарные преобразования матриц |