Множество всех точек сходимости степенного ряда называется его областью сходимости. Поскольку степенной ряд
всегда сходится при
, то его область сходимости содержит по крайней мере одну точку (
). Область сходимости степенного ряда
состоит из одной точки (
), если радиус его сходимости равен нулю (
).
Если радиус сходимости степенного ряда равен
, то область его сходимости будет совпадать с интервалом сходимости
. Так, для ряда
рассмотренного в примере 35.3., областью сходимости является .
Если радиус сходимости степенного ряда отличен от нуля и
, то область сходимости данного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек. Это решается дополнительным исследованием сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости.
Пример №35.4.
Найдите область сходимости степенного ряда .
Решение:
Выясним, чему равен радиус сходимости данного степенного ряда. Искать его будем по формуле: , где
. Для этого:
1. найдём коэффициент :
;
2. найдём коэффициент
3. найдём отношение коэффициентов :

Таким образом, получим
(при
раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Следовательно, так как
, а
.
Радиус сходимости степенного ряда (
) отличен от нуля и
, значит, область его сходимости либо совпадает с интервалом сходимости, либо получается из него добавлением одной или обеих граничных точек.
Найдём интервал сходимости степенного ряда по формуле .
Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости. При
получаем условно сходящийся знакочередующийся ряд
(пример 34.4. лекции 34). Значит,
— точка сходимости ряда
. При
получаем расходящийся гармонический ряд
(лекция 32). Значит,
— точка расходимости ряда
. Следовательно, областью сходимости степенного ряда
будет [-1;1) .
Ответ: [-1;1).
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Понятие функционального ряда. |
Понятие степенного ряда. Радиус и интервал сходимости. |
Свойства степенных рядов. |
Ряды Тейлора и Маклорена. |