Оглавление:
Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и вихря
Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и вихря. Декартовы координаты символического вектора, y, преобразуются в соответствии с обычным векторным преобразованием rules. In факт, декартово преобразование х ’=цХХ / -А^Г / А^Р、 Y ’ #21 * 4 «# 22U 4 » #23 ^、 2 ’=#ztX 4 «a’N 4» #sz ^•(52.5） В случае такого преобразования матрица обратного преобразования совпадает с матрицей транспонирования、 X-ytsX ’4 #21 * / + S1′ ts2 ′ 1 У-ух!2x ’4 #22y’ 4 # 32 ^、 2 #1zX、4〜＃23 * / 4«＃27 (52.6)） Кроме того, как известно, и координаты точки, и координаты вектора преобразуются по формулам(52.5) и(52.6). 52.2.Об инвариантности склонов, отклонений и вихрей 279. Используя формулу (52.5) и правила дифференцирования сложных функций, получаем следующее: Д д д ДХ ’Ди Ди’■+ г ДГ Б, Д + «31 а ДХ-ДХ ’ДХ + ду’ ДХ ДГ ’ДХ-мос + ’21 ^ ДГ’» Д д д ДХ ’+ д Ди ’ + Д Б Д ДГ + «32 а(52、 ду ДГ и dhg + ДГ ДГ ДГ ’ ДГ-А13 д? + ААЗ SchG +°33 гду.
Поскольку вектор y преобразуется как нормальный вектор, естественно, что скалярное произведение y a не зависит от выбора заданной системы координат. Людмила Фирмаль
- Итак, обратная формула, выражающая производную по переменным x’, y’, r ’ через производные по переменным x, y, r, будет иметь вид: д, д, д, д. Ш〜ЯпЖ + а™ д〜 + J13 А7 д д д д оч duG-081 a7 + J22 a7 +°23a7 *(52-8） д, д, д, д. МРЛ-az1Zh + А32 + az3 57Формула (52.5) (52.8) указывает, что»координаты» символьного вектора y обычного вектора и ортогональное преобразование декартовых декартовых координат преобразуются в соответствии с тем же rules. In в частности, из(52.8) следует, что наклон функции u в системе координат x, y, r равен、 То есть вектор с координатами ■x’, y’, r ’в системе Дидди. Координата dr t-e-это градиент. Объем этой координаты system. So было вновь доказано, что наклон функции не зависит от выбора декартовой системы координат (см. раздел 20.7).
Предположим, что вектор системы x, y, r имеет координаты ax, ay, a и имеет систему x’, y’, R ’координаты aX’, ay, ag. By Формула (52.7)、 52.Скалярные и векторные поля (52.2). Векторное произведение нормального вектора не зависит от выбора декартовой системы координат той же ориентации в силу своего геометрического смысла (например, векторное произведение 2 векторов не изменяется, даже если они перемещаются из 1 правой декартовой системы координат в другую декартову систему координат).поэтому естественно ожидать, что»символическое векторное произведение» g1 a = y x a будет иметь те же характеристики.
- Фактически, если система координат x’, y’ и r ’представлены единичными векторами координат y ’и k’ соответственно, то, как известно, единичные векторы координат f, y и k системы координат x, y и r представлены V., y’, k ’ преобразуется матрицей, которая транспонируется в матрицу преобразования(52.5), то есть матрицу преобразования(52.6). Получить его можно с помощью выражений (52.6), (52.7) и (52.10).Иди! а = г х = Примените формулу (52.5) к вектору a =(ax, ay, a.) (то есть в этих формулах мы заменяем x, y, r на ax, ac, ar, ax’, y’, r ’на ax, au, ar’), и формула в скобках в правой части уравнения (52.9) непрерывно равна ax, au, ar и, следовательно, равна ar.、 52.3.Формула остро грацки-Гаусса Двести восемьдесят один.
Последнее уравнение доказывается так же, как и в случае нормальной числовой матрицы, доказывая, что определитель произведения 2 квадратных матриц одного порядка равен произведению determinant. To докажите это равенство, достаточно убедиться, что обе части имеют одинаковую алгебраическую сумму одинаковых членов. Определителем ортогонального преобразования является -} −1 или −1, и+ 1, если это преобразование содержит direction. So, если выбраны системы координат x, y, r и x’, y’, r ’в рассматриваемом случае и обращены в одном направлении、 Вот оно. Равенство означает, что вихрь векторного поля не зависит от выбора декартовой системы координат с тем же направлением, что и заданная.
Это равенство указывает на то, что расходимость векторного поля в каждой точке однозначно определяется самим векторным полем и не зависит от выбора системы координат, как это впервые следует из уравнения. Людмила Фирмаль
- Заметим, однако, что при переходе от одной системы координат к системе различных ориентаций, например, от правой к левой, каждый вихрь (подобно нормальному векторному произведению) заменяется противоположным вектором. Это следует формуле (52.11), поскольку определитель направления изменения ортогонального преобразования равен −1. Итак, вихрь векторного поля находится»до знака», который однозначно определяется самим векторным полем и не зависит от его выбора, если ограничить его только 1 правой декартовой системой координат.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
