Оглавление:
О точках разрыва монотонной функции
- О разрывности монотонных функций. Следующее утверждение раскрывает природу разрыва монотонной функции. Т Е О Р Е М А4. 9. Если функция ((x)) определена в сегменте[a,B]и монотонность этого
сегмента равна*, то можно иметь только точки останова первого рода этого сегмента.、 Д О К а з а т е л ь с т в о. благодаря лемме, доказанной в параграфе 1, 2,
монотонная функция имеет конечные Людмила Фирмаль
правый и левый пределы в любой внутренней точке отрезка [a, 6], и, кроме того, конечный правый предел в точке a. Чтобы доказать вторую часть теоремы о том, что множество всех точек останова не более чем счетно, множество точек останова, расположенных в
точном интервале (a, B), где/(x) не уменьшается в сегментах[a, B], то есть множество точек останова, которые являются внутренними точками сегментов[a, 6, чтобы доказать Обратите внимание, что для каждой такой точки останова x выполняются неравенства правого и
- левого пределов/(x+0)>/(x-0) (обратите внимание на лемму выше). Благодаря Лемме 2 Глава 2, что два действительных числа не равны друг другу, между ними всегда будет заключено рациональное число.
Поскольку неравенство/(x+0)>/(x-0) справедливо в каждой точке промежутка x, каждая точка в промежутке x может соответствовать некоторым рациональным числам g(x), удовлетворяющим неравенству/(x+0)>g(x)>/(x-0). Обратите внимание, что разные рациональные числа соответствуют разным точкам в промежутке.
На практике, если XI и XG являются двумя точками останова, например Людмила Фирмаль
X1<x2、- То есть либо не убывающая, либо не растущая.§6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 167 Убывающая функция следует/(X1+O)</(x2—0) и, следовательно, g (X1)<g (x2). Таким образом, множество всех точек останова функции/(x), расположенных внутри отрезка[a, B], является размером множества рациональных чисел, о чем свидетельствует Глава 7, 2. Теорема доказана.
Смотрите также:
Методическое пособие по математическому анализу
| Второй замечательный предел | Локальные свойства непрерывных функций |
| Классификация точек разрыва функции | Глобальные свойства непрерывных функций |
