Оглавление:
Норма линейного оператора
- Норма линейного оператора. Пусть A линейная опера Тор, отображающий евклидово пространство V в то же пространство. Вводя понятие нормы. Определение 3. Стандартный || A || Линейный оператор A называется Количество определяется соотношением 12) || A || = sup || Ax ||. E.53) 11 * 11 = 1
- Из определения нормы линейного оператора видно, что Очевидное неравенство: || Ax || <|| A |||| x || E.54) (Для доказательства достаточно использовать соотношение (X A Ax = (A — 1 — 1 || x ||). (Из E.54) V 11X11 / Если || A || = 0, оператор A равен нулю. Норма самосопряженного оператора A также может быть определена другими Метод. Если A является самосопряженным оператором, введенная выше норма ma || A || оператор A равен sup || x || = 1 | (Ax, x) | sup | (Ax, x) | = || A ||. E.55) 11×11 = 1 11)
То есть утверждение верно. Людмила Фирмаль
Поскольку собственное значение самосопряженного оператора является действительным числом, Затем (xi, Ax2) = A2 (x1 x2) = A2 (x1 x2). 12) Помните, что || Ax || = — ^ / (Ax, Axe). Результаты || Топор || Презентация Является непрерывной функцией x и || x || = 1 для замкнутого множества Финальный максимум достигнут. Доказательство. Неравенства для любого x в V Коши Бняковский (см. Пункт 2 § 3 главы 4) | (Ax, x) | ^ || Ах || || x ||
Отсюда и неравенство E.54) получается следующее неравенство. | (Ax, x) | ^ || A || || x || Поэтому номер 11 = sup | (Ax, x) | E.56) 11 * 11 = 1 Удовлетворить отношения / I ^ || A ||. E.57) / z z \ Уравнение (Az, z) = (A —-, —— d) llzll2, z / 0 и V llzll llzll / Следующее неравенство определения μ (см. E.56): | (Az, z) | ^ / i || z || E.58) Далее рассмотрим следующую очевидную идентичность:
- 4 Re (Ax, y) = (A (x + y), x + y) — (A (x-y), x-y) (В этом тождестве символ Re (Ax, y). Часть комплексного числа (Ax, y), сама идентичность просто следует Пожалуйста, обратитесь к подразделу 1 главы 4-3 из свойств скалярного произведения. Поверните налево Модуль по модулю справа, используя свойства модуля Сумма и неравенство E.58), получим следующие соотношения 13):
4 | Re (Ax, y) | ^ /, || x + y || 2 + / * || x-y || 2 = 2M || x || 2 + || Так что || x || = || y || = 1, чтобы получить неравенство | Re (Ax, y) | ^ fi. В этом неравенстве предположим, что y = Ax / || Ax || (очевидно, || y || = 1) и учтем Число (Ax, Ax) = || Ax || 2 — действительное число (отсюда mu Re (Ax, Ax) = (Ax, Ax) = || Ax || 2), || Ax || ^ / i, || x || = 1.
Следовательно, согласно неравенству E.53). Людмила Фирмаль
|| A || ^ \ i. 13) В этом случае мы использовали определение нормы комплексного элемента Осталось сравнить полученные для завершения доказательства Неравенство и неравенство E.57) и использовать определения Числовое значение μ (см. E.56)).
Смотрите также:
| Понятие сопряженного оператора | Дальнейшие свойства самосопряженных операторов |
| Самосопряженные операторы. Основные свойства | Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона-Кэли |
