Неявные функции, определяемые системой уравнений

Оглавление:

Неявные функции, определяемые системой уравнений

Неявные функции, определяемые системой уравнений. Система уравнений. П(х, г)= 0, 1 = 1, 2 м х ^ НН г = Хм,(41.7） Или более подробно、 Р (* 1,•••, Хп, У1,…Ю. М.)<о、 РВ (Х1,…, хп, У1,…Юта) ^®(41.8） РП (Х1,…, хп, У1,…Юм) 0 Р1(х<°, г’-0））= 0、1 = 1,2、..Y, в окрестности (N <0), y’0’)…может быть решена однозначно по отношению к ym. 。т. к. Определение 2.Функция η-щ(ъ1,…、»）、/ = 1、2、…дайте все частные производные 1-го порядка в некоторой точке 1 (0), m. тогда матрица, составленная из частных производных этих функций в точках копай ДС копай Д11 д (2 д (р ди2 ди2 ди2 Д(Г(З2 ДИТ ДИТ ДИТ d(1 d(2’d1p Или, короче говоря、 I 1 1 2,…М、/ = 1、2、•••、я、 Якобиева матрица этой функциональной системы называется. Если m = n, то определителем матрицы Якоби является переменная 1b …Функциональная система 1ну.

Далее мы увидим, что Якобиан функциональной системы естественным образом возникает в различных задачах теории функций многих переменных. Людмила Фирмаль

Якобиан-определитель ООН, или называемый Якобиан матрицы, показано, как*） d («1 и»） Д(С * П)’ * * *） К. Якоби (1804-1851) немецкий математик. Обозначение также применяется0(1 Два * Прежде чем перейти к описанию основной теоремы, кратко приведем краткий пример(не уточняя всех деталей） § 41.Неявная функция Тридцать шесть Докажите и покажите, как Якобиан проверяемой системы происходит при ее условии. Непрерывно дифференцируемая функция Р и Φ в окрестности точки (x0, y0, −0)、 П(Хо, УО, 2 ′ О)= 0、 Ф (о, уо, 2-о) = 0. Предположим вам нужно решить систему уравнений Р (Х, Y, Р)= 0、 Φ (x, y, 2)= 0 Найти переменные y = gr (x) и r =φ (x) оттуда, в некоторой окрестности указанной точки.

Например, непрерывные функции переменных x, φ и φ, где φ (x0)= V0, φ (x0)= 20.Для этого, например, первое уравнение о 2 получает r = f (x, y).Если подставить эту формулу во 2-е уравнение и решить его относительно y, то получим y = q (x). пусть φ ()= f [x, φ (x)] даст вам решение, которое вы хотите. Г = Ч (*). 2 =φ (x). (Естественно, для какого значения переменной henna мне нужно найти, где эти функции определены? Мы не будем подробно разбирать этот вопрос, чтобы не отвлекаться от главных мыслей.

Этот раздел теоремы 2 рассматривается в доказательствах. ） Например, для 1 из этих уравнений достаточно решить в окрестности точки (x0, y0, r0) относительно переменной r (см. теорему 1 в§ 41.1). Если-P ^ X° ’dg°’ g°^Ф0-2 = / (x, y) соответствующее решение、 Для того чтобы полученное уравнение было разрешимо относительно переменной y во 2-м уравнении Φ[x, y, y)] = 0, достаточно убедиться, что сумма частных производных в левой части полученного уравнения не исчезает в точке. (x0, y0), то есть в этот момент Вы также можете использовать его в качестве шаблона. Но согласно пункту 41.1、 Ух… д} to делать-д-р дециграмм 41.3.Неявные функции, определяемые одновременными уравнениями Тридцать семь Поэтому, если вы присвоите это выражение более раннему неравенству, вы увидите, что условие разрешимости может быть записано в следующем виде: 2О).

Очевидно из этого условия, в точке (x0, y0, r0) Может быть определена в отношении Таким образом, для данной системы уравнений неравенство к нулю в точках Якобиана^(x0, y0, m) гарантирует существование решения вида в окрестности точек (x0, y0, r0). г = ч(х） * = （）• Теперь мы поговорим об основных теоремах в этом разделе. Теорема 2.Функция P1(x, y)= P1 (x1,…, хп, У1,…Юм), Р = 1, 2,…, m-точка(x^°, r / 0)), x(0 =(x ^ 0′,…, x’n), y’0)=(y [0′,… …им).Тогда P1 (x. 0, 1-1, 2,…, м, и если Если Якобиан не равен нулю в точке (x°\ y (0))、 Такие соседи V x и Pu даны для точек x в пространстве x и 0 (0 и/соответственно), а для 1e (/соответственно) существует единственное решение в системе уравнений (41.7). Г-Ф(Х) {Ык = Ф (ХХ,…, хп), к = 1, 2,…м.

Конечно, условия, при которых может быть выполнена указанная операция, или, точнее, проблема возникает, если все вышеперечисленные функции существуют и однозначно определены. Людмила Фирмаль

Далее, функции, образующие это решение[k (x), k = 1, 2,…m непрерывно дифференцируемо с хχ и [(x(0))= y (0). Таким образом, если гипотезы теоремы выполнены, то условие Y）-^®*»= 1、2、…. м (Х, Y)^ 1 / ХХ1 / г Эквивалентно условиям Y = Hx), xeE1Gx, y 1 1Gy. * Система функций (K (x1,…, xn), 6 = 1, 2 м обозначается 1 знаком ox /(x), чтобы определить четкое соответствие. Точка определенного набора пространства K » указанная функциональная система связывает определенную точку пространства или отображает указанный набор пространства Px в пространство P™, как он говорит. Тридцать восемь Доказательство. Прежде всего, обратите внимание на его утверждение.

Неявные функции, определяемые одним уравнением.	Отображения.
Произведения множеств.	Векторные отображения.