Неявные функции, определяемые одним уравнением

Оглавление:

Неявные функции, определяемые одним уравнением

Неявные функции, определяемые одним уравнением. Найдем условия, при которых 1 уравнение с несколькими переменными определяет уникальную функцию. Начните с изучения уравнения, содержащего 2 неизвестных. Р(х, г)= 0. Если функция 2 переменных P(x, y) задана в подмножествах a плоскости K1Y, A и H1Y, а функция 1 переменной y = [(x) существует и определяется множеством B и Kx, содержащимся в проекции на ось Ox множества A, то (x, f (x) e A формируется на всех geB, если= 0 имеет место, то f называется неявной функцией, определяемой уравнением P (X, Y)= 0. 41.1.Неявные функции, определенные в одном уравнении 29 декабря.

То есть, одна из этих переменных определяется как другие функции. Людмила Фирмаль

Лемма. Сделайте функцию P (x, y) смежной в окрестности прямоугольника о, ВА)= {{Х, Y).\ х-х0 \ 1, / г-версия v0 | Н} * Точек (n ’ 0, y0) и каждый фиксированный x =(x0-+ Он строго монотонен с y в интервале (y-R\, y0 + m].Следующий П(Хо, УО)= 0、 Тогда окрестности точек x0 и I ((x0)=(x0-δ, x0-φb)) (y0)=(y-E, yy-*-d) каждого xe (/(A ’0) кроме того, существует единственное решение уравнения (y0 Р(х, г)=0.Это решение является функцией x, обозначаемой y = f( x), и непрерывно в x0、 [(х0)= гИтак, в Лемме, в частности, при сделанных предположениях имеется неявная функция y = f (x), определяемая уравнением P (x, y)= 0, условием X e 6 /(x0).!/ е (/(у0） Р(Х, Y)= 0 и Y = F(х） Это эквивалентно. Proof. By условие леммы, функция P (x,. x) каждого фиксированного xe (x0-x0+») .. строго монотонно По переменной y в интервале (y0 -,, y0 + l).

В частности, функция P(x0, y) строго monotonic. To будьте ясны, давайте увеличим строго. Выберите любой e 0, который следует только условию 0 e c. Поскольку функция P (x (), y) переменной y строго увеличивается на интервал[r / 0-e, y0-fe], а гипотеза P (x0, y0)= 0、 П(х0, У0-е) 0,р(х0,У0 + к) 0 Однако функция 2 переменных P (x, y) является, по предположению, открытым множеством V (x0, y0) и (xn, y0-e) e (/(x0, yo), (x0, y°D) e (Y (xn, y0); таким образом, в окрестности точки (x0, yn-e) находится неравенство P (x0, y-E) и окрестности точки B (x0, y) образуется B (x0, y) 0. + e) неравенство p (x, y) 0 (см. лемму 19.3 подраздела 1). в частности, все x€=(xo-b, x0 + b) (рис. 150), неравенство Р(х, е-б).0, р (х, е + е) 0.(41.1） Поставь б /(хо)=(хо-б, Хо-| Б), В (Е)^(е-е е » б е).

Согласно принятой в курсе нотации, окрестность точки (x0, ya) равна 11 ((l), а не 11 (x0, y0)., Y0)) является более точным. Для простоты, 2-я скобка опущена. $ 41.Неявная функция В случае фиксированного xe (f(x0), функция P (x, y) переменной y непрерывна в интервале[r / 0-e, p0 + e]из условия (41.1), согласно теореме Коши промежуточного значения. В функции рывка (см. теорему§ 6.2) будет y * eY (yp (см. Рисунок 6. 150), где P (x, y*) = 0. Монотонность приведенной выше функции P (x, y) Для интервала[r / 0-e, p0 + e] относительно переменной y указанный y * уникален. Таким образом, вы получаете соответствие 1-к-1 (функция 1-к-1): xn-y *, xe (/(x0） (r / 0), это представлено символом/. г * = F(х).

По определению этого соответствия, для xeY (x0) и y * [(x)、 П(х, г*) = 0,г * = 1!(Y0), и точка y *с этим свойством уникальна. Кроме того, гипотезы лемм P (x0, yp = 0, и x0e1 /(x0),| / 0e (Y(y0)).таким образом, единственность функции/дает нам p0 = f (x0). Наконец, обратите внимание, что E0 произвольно фиксируется с C в качестве условия, и для него найдено B0. x это x01. b (условие xeY(x0)) это включение f (x) e [/(yp, т. е. неравенство| /(x)-/(x0)| C e. это означает непрерывность функции / точки x0 с 0 Достаточное условие приложения для однозначной сольватации уравнения P (x, y)= 0 в окрестности точки, где P (x0, y0)= 0, задается следующей теоремой.

Таким образом, доказано существование и единственность искомой функции. Людмила Фирмаль

Теорема I. пусть функция P (x, y) непрерывна в окрестности точки (x0, y°) и имеет частные производные Py (x, y) в этой окрестности и непрерывна в точке (x0, y°). П (Хо, УО) −0, ру (Хо, йо) Φ0、 Тогда существует окрестность V (x0) и V (y0) точек x0 и y0, и для каждого x = 0 (x0) существует единственное решение y = f (x) e I!(Y0)= 0 *K уравнения P (x, y).Это решение непрерывно везде в V (xφ и p0 = f（*） Далее предполагается, что функция имеет имеет частную производную в окрестности точки (x0, y0) * ’В этом случае они также говорят, что уравнение P (x, y)= 0 однозначно разрешимо в окрестности I! (х0, У0)= {(Х, Y). хеаС ’ (х0), уеу (У0)} точка (*оуо）41.1.Неявные функции, определенные в одном уравнении.

Достаточные условия строгого экстремума.	Произведения множеств.
Замечания об экстремумах на множествах.	Неявные функции, определяемые системой уравнений.