Оглавление:
Несобственные кратные интегралы. Основные определения
Несобственные кратные интегралы. Основные определения. Как и в предыдущем одиночном Интеграле, он вводит неверное понятие множественных интегралов, то есть понятие множественных интегралов функций, определенных в неограниченной или неограниченной области. Для охвата обоих этих случаев сформулировано несколько неверных интегральных определений (см. стр. 33.1). Определение 1. Пусть O-открытое множество (ограниченное или неограниченное) n-мерного пространства Hn. Последовательность открытых множеств Ok, f = 1, 2,…называется открытым множеством O, если последовательность монотонно исчерпывается. 1) O * s. Ck+ 1、6 = 1、2、…; ОО ’ 2) и Ак = о к = 1 Где O, как всегда, означает замыкание множества O (см. 18.2).
Следует отметить, что определение этого неправильного интеграла не эквивалентно определению неправильного интеграла функции одной из переменных. Людмила Фирмаль
- Определение 2.Предположим, что функция[{ограниченная или несвязанная) задается интегрируемым по Риману открытым множеством O в любом измеримом открытом множестве O в Иордании. 48.1.Ключевое определение Двести девятнадцать Например, Ba C. функция/называется интегрируемой в неправильном смысле в открытом множестве O. откройте любую последовательность измеримых множеств Ok, k-1, 2,… * ОО стиок, к-1, 2 Это ограничение называется неправильным интегралом функции{на открытом множестве O, обозначаемым / / О.
Более подробный、 $$•••$ /（！。икс.,%» , Хп) смотрите игру DHK yh2.. S1hl б. О Подобный этому #С = деньги! Юку. (48.1） к * ОО Если Интеграл} cU присутствует, то говорят, что он сходится, иначе он расходится. в случае n-1 1, приведенному в§ 33.It только взял интервал как набор Ok, т. е. очень специальную форму 1D open measurable set, в показанном разделе. Поэтому понятие неправильного интеграла (48.1), введенное в этом разделе, применимо только для η> r 2, а для η= 1 оно сохраняет предыдущее понятие неправильного интеграла.
- Если открытое множество O Йорданово измеримо и функция / интегрируема с O, то неправильный Интеграл функции / совпадает с нормальным интегралом Римана-это следует из полной аддитивности интеграла Римана (см.§ 44.6). В определении (48L) многие характеристики внутреннего интеграла могут быть преобразованы в неправильный Интеграл. Аддитивность интегралов на множестве, линейность интеграла, интегрирование неравенств, сведение кратного интеграла к итерационному интегралу, выражение для замены переменной и т. д.
Например, если x = E (u) является непрерывным дифференцируемым отображением 1-к-1 из открытого множества в открытое множество O, и Якобиан^(u) в этом отображении не исчезает в B, необходимо заменить функцию [переменные], которые являются смежными в O. § 48.Частичный кратный Интеграл Двести двадцать Это можно доказать так же, как теорема 2 была доказана в 46.2.Вместо полной аддитивности Интеграла следует использовать только определение (48.1).
Если множество C исчерпывается монотонно, то будет существовать предел, не зависящий от выбора указанного порядка k. Людмила Фирмаль
- Вы можете переписать определение (48.1) в другую эквивалентную форму, используя неверную мультипликативную аддитивность. Для измеримого открытого множества YC O уравнение $ / А?-$ МГ = $ ^(0 \ Т), (48.2） Интеграл gO сходится в любой последовательности измеримых открытых множеств Ok, k=\, 2,…Если множество O исчерпывается монотонно, Интеграл$} c1 (0 \ 6k) существует、 Gold/ 4(C \ C*) = 0 Упражнение 1.Докажите формулу (48.2). в частности, она указывает, что интеграл u)/ /(0 \Γ) сходится или расходится одновременно.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
