Оглавление:
Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Теорема 1.Сделайте функцию неотрицательной в открытом множестве C c. Np тогда измеримая последовательность с открытым Жорданом{C *}монотонно устанавливает Ck в O, а затем предел Золото\ [(х) Д6,(48.3） к * с Конечный или равный+ oe, всегда присутствует. В конечном случае Интеграл/(x) и 0 существуют, поэтому предел(48.3) равен этому интегралу, но если предел (48.3) бесконечен, Интеграл§/(x) сω не существует. В последнем случае они пишут§ / (x) cU +°o. это оправдано тем, что теорема монотонно исчерпывает множество O против другой последовательности{Ok} 1) k открытого множества, которое можно измерить. к ► ОО Доказательство. OK. Деньги! ДСК к + СО Это ограничение не зависит от выбора указанной последовательности. 48.2.
Очевидно, что теорема является открытым множеством C, в предположении, что функция неотрицательна, и множеством измеримых множеств области последовательности, которое монотонно истощает последовательность множества измеримых множеств. Людмила Фирмаль
- Частичный Интеграл неотрицательных функций Двести двадцать один Ck, 6 = 1, 2-измеримая последовательность Открытый набор C выматывает монотонно. И согласно определению такая последовательность равна 0k A Ck + b, и/ = r0, поэтому 6 = 1, 2,… Всегда есть конечный или бесконечный предел Пятница ySk = 11. Утвердительный ответ Где: 6 = 1, 2,….Открытое множество, O, монотонно исчерпывается, а другая последовательность измерима sets. By выше, есть конечный или бесконечный предел. Золото (yuc= / 2. К Показать его / 1 = / 2. (48.4） Фиксированный элемент 0k первой последовательности имеет такое число, как 60 = 60(6). CAC = G Ao. (48.5） Фактически, для положительных целых чисел m = 1 и 2 Точка x (m) e Cx \ Oya существует, если указанное число 60 не было найдено.
- Из-за ограниченности последовательность{x (m)} также ограничена, поэтому в соответствии с теоремой Больцано-вейершута (§ 18.1, см. теорему 2) мы можем выделить сходящуюся подпоследовательность{lDN)}. если x (0)=то _V + С Окружность множества Ok равна x [0 E04.So это означает x0∈O. Но благодаря свойству 2 монотонно исчерпывающей последовательности (см. Определение 1), существует число m0, которое выглядит следующим образом: когда оно задано, оно содержит почти все точки в последовательности { «»)), которые сходятся к x (0), потому что оно находится в окрестности точки x {0.by m0, число, подобное η m0, и свойство 1 монотонно исчерпывающей последовательности x ^ n’1°e, но lTm»’) e в порядке, поэтому это противоречит выбору последовательности ty {x (m)}.Таким образом, наличие числа 60 (см. (48.5) выше) доказано(но его наличие непосредственно вытекает из леммы Гейне Борреля. Система{ОК }образует открытое покрытие компактного устан OK). $ 48.
Изготовленный на заказ неправильный Интеграл Двести двадцать два Здесь, условие/.По § 0, включение(48.5) означает, что$ / АОК, но, очевидно,$ /(Вт / Р0 х / 2, следовательно, K-1, 2,… Если вы передадите этот предел неравенства как k + oo, вы получите 11 ’5T / −2. Аналогично, неравенство 1/2-0 Pr и доказывают измерения. Рассмотрим Интеграл/ ^ е-х-У2 Ах Ау. Поставь О * = = {( * , г). * 24-* / 2 62}、6 = 1、2 Эта последовательность Является серией открытых 4 делимых множеств (в данном случае просто окружностью), которые монотонно исчерпывают всю плоскость R2. lk = ^ c1x c1y. перейдем к полярным координатам. И затем е-РМ 2л от _g / Ацр ^ е-р * р я = 2л ^ 2〜 П(1% о 4 ’ Ее. Итак, согласно определению(48.1)、 I =Золото/ * = I (48,6） к * ОО Вы можете использовать выражение (48.6), чтобы найти значение интеграла 4-00 $ е-Х2 Ах、 КОМПАНИЯ.
Открытое множество, которое может быть измерено в смысле Жордана, ограничено, поэтому замыкание является замкнутым ограниченным множеством, то есть компактным множеством. Людмила Фирмаль
- Он называется интегралом Пуассона*и обычно встречается в приложениях. Конечно, * * Квадрат 1 * 1 C6 / / y / α^ 6、6 = 1、2、…Представленный и применяющий формулу, которая сводит кратный интеграл к итерационному интегралу (см. раздел 45.1), получаем к* ОО ’ / = $ е-Х2-ый Ах Ау = Пт ^ Ах АуК-к ■ ■ Золото\ топор \ э-ХС-У2 топор Ау = золото)) е-Х2 топор)е-ый Ау = * ±и к y-соди * 1 = P’M(^ e-x2Ax 1 = $ e ^ x2Ax . к * ОО. ’ * С. Пуассон (1781-1840) французский физик и математик. 48.2.Частичный Интеграл неотрицательных функций 22Е Отсюда(48,6） 4-00 $ ех * топор = г л Теорема 2 (признак сравнения).Предположим, что неравенство 0 =енства / (x) < g(x), а X E C содержит открытое множество O. тогда сходимость интеграло⧧(X) ac означает сходимость интегралов/ / (X) cю, а расходимость интегралов/ / (x) 1 C означает бифуркацию интеграло⧧(X) ao. Эта теорема доказана так же, как и аналогичные теоремы в 1-мерном случае(см. и 33.3). В качестве примеров и критериев сравнения с другими интегралами расы.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
