Оглавление:
Неравенства Бернулли
Бернулли Якоб (1654-1705) — швейцарский учёный, профессор Базель-ского университета (Швейцария). Известен своими работами по дифференциальной геометрии, вариационному исчислению и математической физике.
Теорема 1 (неравенство Бернулли с натуральным показателем). При любом действительном x (x > — 1) и при любом натуральном n справедливо неравенство
Доказательство. Воспользуемся для доказательства методом полной математической индукции (по параметру n ).
1) При n=1 имеем: 
— верно.
2) Предположим, что неравенство выполняется при некотором произвольном n = k , т.е. 
и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т.е. 
. В самом деле,
3) В силу произвольности k отсюда следует, что данное неравенство выполнено сразу при всех натуральных n . Заметим, что неравенство Бернулли обращается в равенство только при x = 0 или n = 1.
Сформулируем без доказательства неравенство Бернулли в случае, когда показатель степени в неравенстве не является натуральным.
Теорема 2 (неравенство Бернулли с произвольным показателем). Пусть 
. Тогда справедливы неравенства
причём неравенства обращаются в равенства только при x = 0.
Пример №135.
Найти наибольшее значение функции
Решение:
Дважды воспользуемся на области определения функции неравенством Бернулли:
Складывая эти неравенства, получаем неравенство
причём равенство достигается при x = 0 (в каждом из двух неравенств). Поэтому f(о) = 2 — наибольшее значение функции.
Ответ: 
Рассмотрим, наконец, обобщённое неравенство Бернулли для нескольких действительных чисел.
Теорема 3 (неравенство Бернулли для n чисел). Пусть
— числа одного знака, 
Тогда
Доказательство (методом математической индукции).
1) При n = 1 неравенство, очевидно, выполняется.
2) Предположим, что неравенство верно при некотором n = k , т.е.
и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т.е.
Действительно,
3) В силу произвольности k отсюда заключаем, что данное неравенство выполняется при любом натуральном n . Неравенство обращается в равенство, только если n = 1 или 
В частности, при 
получаем 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
