Оглавление:
Непрерывность функций
- Непрерывность функции 1. Непрерывность функции в точках Определите функцию y = f (x) в точке x0 и в конце этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке xq, если предел функции в этой точке сухой и равен значению функции в этой точке. тонна f (x) = f (xo). (1) X—> Zo Равенство (1) означает, что выполняются следующие три условия: 1) Функция коррекции) определяется в точке х0 и ее окрестностях. 2)
Функция f (x) имеет ограничение как xso. 3) Поскольку lim x = x0, уравнение (1) можно записать в виде X—> Хо lim f (x) = f (ux x) = f (x0). (2) X—> ®oX— + XQ Это означает, что если вы найдете предел непрерывной функции f (x), вы можете перейти к пределу ниже знака функции. Другими словами, предельное значение x0 заменяется функцией f (x) вместо аргумента f. ; Пример: 1Н .. Ииш, НШ «Ша» 1) lim e ‘= ea- * ° = e.
Предел функции в точке X0 равен значению функции в этой точке, то есть выполняется уравнение (1). Людмила Фирмаль
В первом уравнении функция и предел z Обмен на непрерывность функции (см. (2)) напр. 2) Рассчитайте A = Iga + x) 9 ‘х-> 0 х lim = lim J • ln (l + x) = lim ln (l + = x—> 0® * V 7 x—> 0 v 7 = In (um (l + ®) i) = lne = 1. Обратите внимание, что ln (l + x) ~ x есть x0.Основываясь на концепции приращения аргументов и функций, можно дать другое определение непрерывности функции.
Предположим, вы определили функцию y-} (x) с определенным интервалом (a; b). Возьмем любую точку X0 € (a; b). Для любого x 6 (a; b) разность x-xq называется приращением аргумента x в точке x0, да: («delta x»): Ax = x-a? Указано О. Следовательно, x = x0 + Dz. Разница между соответствующими значениями функции f (x) -f (x0) называется приращением функции f (x) в точке Xo и обозначается Dy (или D / или D / (£ 0)) : Dy = f (x) -f (a: 0) или Ду = / (хо + Дх) — / (хо).
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Очевидно, что приращения Ax и A могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Запишите равенство (1) с новыми обозначениями. Поскольку условия равны, уравнение (1) становится lim (f (x) -f (xo)) = 0 или (3) lim Ay = 0. Dx ~> 0 в Y = / («) y / yG 1 1 / s i 1 1: t 1 1 Хо я 1 \ х О -v- «X о Полученное уравнение (3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция y = f (x) определена в точке a и ее окрестности, и выполняется уравнение (3) То есть, если оно бесконечно, оно называется непрерывным в точке x 0. Небольшое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции.
Пример: проверьте функцию y = sin x на непрерывность. ♦ Функция y = sin x определена для всех x∈R. Возьмите любую точку x и найдите приращение Av \ Ay = sin (s + Ax) -sin x = 2 cos y ) о о X + преступление = 0 lim A y = lim 2 cos! Существуют ограниченные функции и определения BMF BMF Согласно определению (3) функция y = sinx непрерывна в точке π. ♦ Аналогично, функция y = cos x оказалась непрерывной. преступление
При проверке непрерывности функции в некоторой точке применяется первое определение (уравнение (1)) или второе определение (уравнение (3)). Людмила Фирмаль
Непрерывность функций в пределах и на интервалах Функция y = f (x) называется непрерывной в интервале (o, 6). Это когда он непрерывен в каждой точке этого раздела. Функция y = f (x) непрерывна в интервале (a, 6) и непрерывна в интервале [a, b], если она непрерывна в точке x-a Точки X-B остаются непрерывными
