Оглавление:
Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.

Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при
, то ряд расходится.
Задача №104.
Записать первые пять членов ряда, общий член которого задан формулой .
Решение:
Полагая в данной формуле , получаем:

Следовательно,

Задача №105.
Найти формулу для общего члена ряда
Решение:
Каждый член данного ряда представляет собой дробь, числитель которой — степень числа 3, а знаменатель — третья степень числа , т. е.
.
Числовые ряды
Числовым рядом называется выражение вида

Числа называются членами ряда, а
— общий член ряда.
Конечная сумма называется
-й частичной суммой ряда.
Конечный предел частичной суммы ряда при называется суммой ряда

Ряд, имеющий конечную сумму , называется сходящимся.
Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Если в ряде (1) отбросить первые членов, то получится ряд

называемый остатком ряда (1) после -го члена или
-м остатком.
Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков (2).
Из сходимости остатков (2) следует сходимость ряда (1).
Простейшими примерами числовых рядов являются ряды:
1) геометрический ряд
, при
ряд сходится;
2) ряд Дирихле
при
ряд сходится, при
расходится.
Если , то ряд называется гармоническим.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: