Оглавление:
Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке дифференцируемая функция
имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
,
.
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, . Тогда получим функцию
одной переменной, которая имеет экстремум при
. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4),
, т.е.
.
Аналогично можно показать, что .

Геометрически равенства и
означают, что в точке экстремума функции
касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию
, параллельна плоскости
, т. к. уравнение касательной плоскости есть
(см. формулу (45.2)).
Замечание. Функция может иметь экстремум и точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке
(см. рис. 210), но не имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, т. е.
, называется стационарной точкой функции
.
Стационарные точки и ‘точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию . Для нее точка
является критической (в ней
и
обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция
не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки
найдутся точки для которых
(точки I и III четвертей) и
(точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция
имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке
значения
,
. Обозначим

Тогда:
1) если , то функция
в точке
имеет экстремум: максимум, если
; минимум, если
;
2) если , то функция
в точке
экстремума не имеет.
В случае экстремум в точке
может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример №46.1.
Найти экстремум функции .
Решение:
Здесь . Точки, в которой частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки и
.
Находим частные производные второго порядка данной функции:

В точке имеем:
, отсюда

т.е. .
Так как , то в точке
функция имеет локальный максимум:

В точке и, значит,
. Проведем дополнительное исследование. Значение функции
в точке
равно нулю:
. Можно заметить, что
при
;
при
. Значит, в окрестности точки
функция
принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке
функция экстремума не имеет.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Дифференцирование неявной функции |
Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области |
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям |