Оглавление:
Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода
Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.
Площадь поверхности
Если поверхность задана уравнением
, а ее проекция на плоскость
есть область
, в которой
и
— непрерывные функции, то ее площадь
вычисляется по формуле

или
Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы . Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.
Масса поверхности
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть . Для нахождения массы поверхности:
1. Разбиваем поверхность на
частей
, площадь которой обозначим
.
2. Берем произвольную точку в каждой области
. Предполагаем, что в пределах области
плотность постоянна и равна значению ее в точке
.
3. Масса области
мало отличается от массы
фиктивной однородной области с постоянной плотностью

4. Суммируя по всей области, получаем:
.
5. За точное значение массы материальной поверхности принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей
, т. е.

т. е.

Моменты, центр тяжести поверхности
Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности находятся по соответствующим формулам:


Пример №57.3.
Найти массу полусферы радиуса , если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.
Решение:
На рисунке 250 изображена полусфера радиуса . В уравнение
— поверхностная плотность полусферы.
По формуле (57.7) находим:

Переходим к полярным координатам:

Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки :

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода |
Вычисление поверхностного интеграла I рода |
Вычисление поверхностного интеграла II рода |
Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода |