Оглавление:
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Площадь плоской фигуры
Площадь 
плоской фигуры, расположенной в плоскости 
и ограниченной замкнутой линией 
, можно найти по формуле
при этом кривая обходится против часовой стрелки.
Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) 
, получим:
или
Аналогично, полагая 
, найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:
Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два, получим:
Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).
Работа переменной силы
Переменная сила 
на криволинейном участке 
производит работу, которая находится по формуле
Действительно, пусть материальная точка 
под действием поименной силы 
перемещается в плоскости по некоторой кривой (от точки 
до точки 
).
Разобьем кривую точками 
на 
«элементарных» дуг 
длины 
и в каждой из них возьмем произвольную точку 
, 
(см.рис. 244). Заменим каждую дугу вектором 
, а силу будем считать постоянной на векторе перемещения 
и равной заданной силе в точке 
дуги :
Тогда скалярное произведение 
можно рассматривать как приближенное значение работы 
вдоль дуги :
Приближенное значение работы силы на всей кривой составит
величину
За точное значение работы примем предел полученной суммы при 
(тогда, очевидно, 
и 
):
Замечание. В случае пространственной кривой имеем:
Пример №56.6.
Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой 
.
Решение:
При обхождении астроиды в положительном направлении параметр 
изменяется от 0 до 
(см. рис. 245).
Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим:
Пример №56.7.
Найти работу силы 
вдоль кривой 
от точки 
до точки 
.
Решение:
По формуле (56.20) находим:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
