Оглавление:
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные; приложения в математике и механике.
Длина кривой
Длина кривой
плоской или пространственной линии вычисляется по формуле
.
Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости
, а образующая параллельна оси
(см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией
находится по формуле
.
Масса кривой
Масса материальной кривой (провод, цепь, трос,…) определяется формулой
, где
— плотность кривой в точке
.
Разобьем кривую на
элементарных дуг
. Пусть
— произвольная точка дуги
. Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке
, найдем приближенное значение массы
дуги
:

Суммируя, находим приближенное значение массы :

За массу кривой примем предел суммы (55.7) при условии, что
, т. е.

или, согласно формуле (55.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке
функцией.)
Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей и
и координаты центра тяжести материальной кривой
определяются по формулам

Моменты инерции
Для материальной кривой моменты
инерции относительно осей
,
и начала координат соответственно равны:

Пример №55.3.
Найти центр тяжести полуокружности , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой (
).

Решение:
Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси (см. рис. 236). Поэтому
. Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому .
Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности . Имеем:

Следовательно, . Итак,
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Некоторые приложения тройного интеграла |
Вычисление криволинейного интеграла I рода |
Вычисление криволинейного интеграла II рода |
Формула Остроградского-Грина |