Некоторые примеры приложения формулы Остроградского

Некоторые примеры приложения формулы Остроградского

• Некоторые примеры применения формул Остроградского. 1) представление объема объема по доле площади поверхности. Аналогично n°347, и Формула (4), поскольку представление субплотности в тройном Интеграле равно e d и n и C e, Интеграл

сводится к телу объема V (V}таким образом, объем V представляется как расширенная область на ограничивающей тело (V) поверхности (5). Итак, предполагая переменную (4), P=x, 0=0, P=0;P=0, 0=y, P = 0;P=0, 0=0, P=z, приходим к уравнению: г ДГ б/х=Г Д Д БУ(б) И все интегралы берутся на п е ш е й стороне поверхности (5).

Полезна более симметричная формула Он имеет форму 62DH+G(их БУ Или — если мы Людмила Фирмаль

перейдем к интегралу первого типа-Y Y (CSO+2soz V to pop p) e / 8 (5) (Где Х СОГ, СОГ, СОГ^означает индукции косинус в н е ш Н Е Г нормальной-н на поверхности). Можно представить эту формулу еще одним способом: с учетом вектора g, который начинается с переменной точки поверхности с проекцией x, y, 2 на координатные оси.、 г-поп(г,п) И напоследок, Я=~Гпоп(г, 77) 68. (5) В таком виде этот

результат встречается у Гаусса уже в 1813 году. 381]§2. Формула Остроградского 343 2) плотное замкнутое поверхностное равновесие. Доказано, что замкнутая поверхность твердого тела под общим давлением остается в равновесии. Для этого установим, что главный вектор и главный момент (для любой точки) всей системы сил, приложенных к поверхности, равны нулю. Выберите элемент

• поверхности (C18). Если через P=sopz1 указано давление, то есть сила, действующая на Нормаль этого элемента (<78), проецируется на ось-rsokhb/8,-p = P^8-rsoz^Y8 (7).）（ Предсказание 7-го?Основные векторы x, Yau, P2 получены из проекции фундаментальных сил (7) путем их суммирования: Но все эти интегралы-нули,и, как видно из Формулы Остроградского, P=1, 0=p = <2=1, P=p=0;/? =1,Р=(? =0. Таким образом, основной вектор давления равен нулю. Определить главный момент системы основных сил, например, к началу координат, суммировать

проекцию на ось момента этих элементарных сил: p (g POPs p-y POPs^) b?8,п(х Соз в-г Соз х)<78,п(г Соз Х-Х Соз Р)). * ) Если компаундирующая сила на оси равна X, Y, 7 и применяется к точке (x, y, d), то напомним, что момент силы относительно точки (C, t), C) имеет следующую проекцию на ось: BX= = = = = = = = = = = = = = = = = , Итак, проекция главного момента давления на первое давление будет: БГ — ==р§г(г х поп-XOZ Р. s?8. (5) Возьмем p=0, () — P2, P= — ru в Формуле Остроградского и GC=0. Это так же просто, как установить, что U=B2-0. Основной момент давления (против начала) равен нулю. На этом доказательства заканчиваются. 3) закон Архимеда.

Давление жидкости на погруженную платформу направлено перпендикулярно Людмила Фирмаль

к площадке, а вес столба жидкости основания, которым является эта платформа, и высота каждого элемента ее поверхности (<78) соответствуют указанному Закону (8) 344 главы XXII. тройной интеграл[381 Нажмите на жидкость. Необходимо определить результат элементарного давления и точки его приложения. Чтобы решить эту задачу, выровняйте плоскость XY со свободной поверхностью жидкости, выберите систему координат и направьте ось g вертикально. Если удельный вес жидкости равен p, а глубина

погружения элемента (b / 5) равна 2, то давление, испытываемое этим элементом, будет P2b / 8, И его проекция на ось: — в P2 pops-в P2 pops R.-P2CO8V6?8. В этом случае проекция основного вектора на ось имеет вид: 7?х= — р г г поп-х б / 8, Ду= — Р-У2 поп р б?8,(5) (5) D2= — p2 = V(18. (5) Используя формулу Остроградского, вы легко ее получите, как и в предыдущем выпуске /^=Я= = 0, Таким образом, основной вектор давления равен массе жидкости, которая направлена вертикально вверх и смещается телом. Здесь C(S, t], S) рассмотрим момент фундаментальной силы на центре тяжести тела(s e e e E A l S W e и m e E t s I d u C e N t R a t I g e o. основными моментами вдоль оси являются P2[(2-C)POPS p—7])POPS(18, P2(x—B)POPs V-(2-C)POPs XPops P] (18,и

компонент основных моментов -(U-7] Pops H — (18,5)Pops V — (18-C) Pops V — (2-C) Pops X] Pops — (18, P2 [(Y — ^ 1) Pops p — (x-6) Pops P]) Делать=р я 2 [(- *■’-5) совместно 8В- (5) — (Г-Е)SO8H)]У5, 1г=Р У У2[(П-1]) SO8L- ($) — (х -$) поп[л]<18. Если применить уравнение Остроградского к первому интегралу、 В (В) (П С=0. (V) 381]§2. Остроградского уравнение 345 Для интеграла C§§4u это статический момент тела относительно ООП- (По) Установлено, что K аналогично AU равно 0;получается непосредственно, наконец, оно и a^=0. Итак, главный момент давления на центр тяжести тела равен нулю. Сравнивая это утверждение с ранее доказанным положением относительно основного вектора, мы приходим к следующему выводу: 4) исследование поверхностных областей тела, которые были погружены в тело и заменены телом. Непрерывные функции P, O, P задаются в нескольких открытых областях (g) трехмерного

пространства. Возьмем любую замкнутую поверхность(8), ограничивающую некоторое тело, лежащее в этой области, учитывая площадь поверхности Min Y P 4U4G4 — () 4G4x4-7? 4x4U= ($) = (Рсос Х4 — (?co8p.+ Рсоз’?48). В) (8) Так что интеграл(8) всегда равен нулю, каким условиям должны удовлетворять функции P, C), K? Задача аналогична задаче исчезновения интеграла кривой в замкнутом контуре[n°348 и 374], которая легко решалась с помощью уравнений Грина или Стокса. Здесь мы прибегаем к формуле Остроградского, но, конечно, предполагаем, что функции P, C), K существуют и являются производными, которые появляются в этом выражении. Однако для того, чтобы получить возможность преобразования интеграла (8) по формуле Остроградского, необходимо наложить некоторые

ограничения непосредственно на основную область (D). Именно, необходимо требовать, чтобы простая замкнутая поверхность (8) граничила с телом (V) и непосредственно принадлежала области (T), и это тело также полностью содержалось в области T (n°374). Суть этого типа единства заключается в отсутствии «дыр», даже в пунктах. п°348]. Так, например, в отличие от того, что было сказано о самой «поверхности» в n°374, здесь Тор-это единое связное тело, а не полый шар. Формула Остроградского сразу приводит к желаемому

condition:Dr.js )d K_ _ p DX+du+D2-0 — (B) его достаточность очевидна, и необходимость легко доказывается дифференцированием тройного интеграла по области[n°377,8°]. Как и в случае интегрирования кривой, задача интегральной независимости на открытой поверхности, «растянутой» по заданному контуру от формы поверхности, аналогична задаче интегральной независимости на замкнутой поверхности.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Представление функции интегралом Фурье.	Разложение функций в тригонометрические ряды, определение коэффициентов
Основная лемма	Сходящиеся последовательности и их свойства.