Оглавление:
Некоторые общие теоремы, относящиеся к производным
- Некоторые общие теоремы, связанные с производными. В дальнейшем различие между «закрытыми» и «открытыми» интервалами играет важную роль. Через интервалы (a, b) замкнуто множество значений x для a ^ x ^ b. Открытый интервал определяется неравенством a <^ x 9 ( г0) х увеличивает xQf, но достаточно близко к нему.
На самом деле ——— Случай 9 ‘(n’0) с h -0. Это происходит только в том случае, если 9 (π +)) — Hp (-> 0) и ^ имеют один и тот же знак для достаточно малого значения A, и это составляет описание теоремы. Неравенство cp ‘(. R)> 0 означает, что касательная к кривой образует положительный острый угол с осью, поэтому результат, конечно, очевиден с геометрической точки зрения. Читатель должен сформулировать теорему, соответствующую случаю 9 МО Описание теоремы А формулируется следующим образом: с? (X) увеличивается строго при x = x0
Следующие очень важные теоремы известны под названиями теорем о ролях. Людмила Фирмаль
Теорема Б. Если 9 (n 🙂 непрерывно в замкнутом интервале, дифференцируемо в открытом интервале и значения на обоих концах интервалов a и b равны, то 9 ‘(x) = Есть 0 баллов. Могу предположить 9 (с) = 0, 9 (*) = 0, Если 9 (a) = a9 (b) = k и kO, вы можете рассмотреть k вместо функции 9 (x:) — 9 (q :). Есть две возможности. Если cp (x) = 0 для всего интервала (a, b), то β ‘(x) = 0 для a <x <b, и утверждение ясно. С другой стороны, если 9 (x) не всегда равен нулю, существует значение n, которое является положительным или отрицательным.
Например, предположим, что функция является положительной в некоторой точке. Тогда 9 (x 🙂 имеет точную верхнюю оценку М of (a, b) и Л1 (по теореме 2 §103) для £ из 9 (x 🙂 = (a, b) Понятно, что оно не равно следующему ни a, ни b. 9 ‘(S) является положительным или отрицательным, теорема A имеет значение χ поблизости и ее длина не соответствует определению Новый L1. Следовательно, 9 ‘(£) = 0.
| Алгебраические функции | Максимумы и минимумы |
| Трансцендентные функции | Теорема о среднем |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Следствие 1. Если 9 (n 🙂 непрерывно, замкнуто, дифференцируемо в открытом интервале и o (x) 0 — это все x в открытом интервале, 9 (l 🙂 строго возрастает. (X 95} функция). На этом интервале. Нам нужно доказать, что 9 (JCj) 9 для ^ 1. Сначала предположим, что a <^ x1 <^ x.2 <^ b. Если 9 (jCj) = 9 (^ 2), теорема B требует, чтобы значения x, такие как 9 ‘(. ) = (), Существовали между x {и x2. Это противоречит предположению. В случае 9 (,) «по теореме A существует x3>. 9 (* 3)]> 9 (* 1) 2> близко к x1 и больше? (* A)> и>
Следовательно, согласно пункту 101, 9 (n: 4) = 9 (l:,) между x3 и x2i. Отсюда, согласно теореме B, существует значение x между .V и; и 9 # (n 🙂 = 0> для c4>, что также не согласуется с предпосылкой. Следовательно, 9 (Xj) <9 (x4). Осталось расширить неравенство, если x ^ -a или x> = b. Потому что это уже доказано ? () ) 0 и 9 (a)> 0 в интервале (a, b), 9 (.v) положительна в интервале (a, b). Читатель должен тщательно сравнить начало этих результатов с теоремой А. Как и в теореме A, можем ли мы доказать это, если предположить, что o ‘(x) положительно в одной точке x = x ^? <9 (xr)> и x% достаточно близки к x0 и x1 -f (n’0).
Однако с этого момента предположение о том, что xt и x2 находятся по разные стороны от x0, существенно для вывода, поэтому мы не можем сделать вывод, что существует интервал, содержащий g0, который является функцией, которая строго увеличивает <p (*). Давайте немедленно вернемся к этому вопросу (см. Параграф 125) и приведем пример.
