Задача 1.29.
Найти максимум и минимум функции

при условиях

Решение:
Построим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств:

Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости и их пересечение (рис. 1.6).
Как видно из рис. 1.6, многоугольником решений задачи является треугольник . Координаты точек этого треугольника удовлетворяют условию неотрицательности и неравенствам системы ограничений задачи. Следовательно, задача будет решена, если среди точек треугольника
найти такие, в которых функция
принимает максимальное и минимальное значения. Для нахождения этих точек постоим прямую
(число 4 взято произвольно) и вектор
.
Передвигая данную прямую параллельно самой себе в направлении вектора , видим, что ее последней общей точкой с многоугольником решений задачи является точка
. Следова-

тельно, в этой точке функция принимает максимальное значение. Так как
— точка пересечения прямых I и II, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив эту систему уравнений, получим . Таким образом, максимальное значение функции
.
Для нахождения минимального значения целевой функции задачи передвигаем прямую в направлении, противоположном направлению вектора
. В этом случае, как видно из рис. 1.6, последней общей точкой прямой с многоугольником решений задачи является точка
. Следовательно, в этой точке функция
принимает минимальное значение. Для определения координат точки
решаем систему уравнений

откуда . Подставляя найденные значения переменных в целевую функцию, получим
.
Эта задача взята со страницы решения задач по предмету «математическое программирование»:
Примеры решения задач по математическому программированию
Возможно эти страницы вам будут полезны: