Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом подстановки.
Методические указания no выполнению работы:
Интегрирование подстановкой (заменой переменной) — осуществляется с использованием формулы

Для нахождения определенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:
- Введите новую переменную
таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая
(от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная
.
- Найдите
по формуле:
.
- Выразите
через
.
- Найдите новые границы интегрирования
и
, подставив исходные границы в функцию
.
- Подставьте
и
в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной
. Смените границы интегрирования на
и
.
- Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный определенный интеграл с переменной
.
Рассмотрим применение метода замены переменной на примере.
Пример решения заказа контрольной работы №71.
Вычислите

Решение:
- Выполним подстановку
с целью прийти к интегралу от функции
.
- Найдем
по формуле
- Выразим
из выражения пункта 2
- Вычислим новые границы интегрирования для переменной
. Для этого подставим существующие границы
в выражение
.
Тогда нижняя граница верхняя граница
Подставим и
в исходным интеграл (пока неопределенный):

Видим, что можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной
В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид:
Вычислим полученный интеграл. По таблице интегралов находим, что

Воспользуемся свойством 3 определенного интеграла, позволяющим менять границы интегрирования, при этом избавляясь от знака «минус» перед определенным интегралом
Тогда

Ответ:

На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:
Заказать контрольную работу по высшей математике
Другие похожие примеры возможно вам будут полезны: