Оглавление:
Моменты инерции некоторых однородных тел простейшей формы относительно их центральных осей симметрии
Момент инерции тонкого прямого стержня постоянного сечения
Продольную ось симметрии стержня длиной (рис. 182) примем за ось
.

Массу одного элементарного отрезка стержня длиною , отстоящего, от центральной оси
на расстоянии
, обозначим через
. Если обозначить линейную плотность стержня через
, то масса элемента длины стержня
.
Составляя в соответствии с определением понятия момента инерции тела относительно оси сумму из произведений массы каждого элемента длины стержня па квадрат ее расстояния до оси и переходя к пределу, получим определенный интеграл:

Если обозначить массу всего стержня через , то
. Подставляя значение линейной плотности
в предыдущее равенство, окончательно получаем

Момент инерции однородного прямого тонкого стержня относительно его центральной оси симметрии равен 1/12 произведения массы стержня на квадрат его длины.
Момент инерции сплошного круглого цилиндра
Разобьем цилиндр радиуса и высоты
(рис. 183) на бесконечно тонкие цилиндрические слои. Массу одного такого цилиндрического слоя радиуса
и толщины
обозначим через
.
Обозначим плотность цилиндра через Тогда
Составляя сумму из произведений массы каждого слоя цилиндра на квадрат его расстояния до оси, получим:

Если обозначить массу всего цилиндра через , то эта масса

Отсюда плотность цилиндра

Подставляя это значение плотности в найденное выражение момента инерции цилиндра, окончательно получаем:


Момент инерции однородного сплошного круглого цилиндра относительно его оси вращения равен половине произведения массы цилиндра на квадрат его радиуса.
Момент инерции полого круглого цилиндра
Обозначим наружный радиус полого цилиндра через и его внутренний радиус — через
. Разбивая полый цилиндр на бесконечно тонкие цилиндрические слои, мы придем, очевидно, к тому же самому определенному интегралу, что и в предыдущем случае, только с другими пределами интегрирования. Пределы интегрирования будут изменяться не от нуля до
, а только от
до
. Следовательно,

Масса же полого цилиндра

откуда находим плотность цилиндра

Подставляя это значение плотности в найденное выражение момента инерции полого цилиндра относительно его оси вращения, окончательно получаем:

Момент инерции однородного полого круглого цилиндра относительно его оси вращения равен половине произведения массы цилиндра ‘на сумму квадратов его наружного и внутреннего радиусов.
Момент инерции тела имеет следующую размерность:

В системе СИ момент инерции измеряется в . В технической системе единица массы является производной единицей и момент инерции имеет размерность

Следовательно, в технической системе единиц момент инерции измеряется в .
Формулы для определения моментов инерции однородных тел различной геометрической формы можно найти в технических справочниках.
Для тел неоднородных или имеющих сложное очертание моменты инерции обычно находятся экспериментальным путем.
Пример задачи:
Определить радиус инерции однородного тонкого стержня относительно оси , перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец.
Решение:
По теореме о моментах инерции относительно параллельных осей (формула (143))

Момент инерции стержня относительно его центральной оси симметрии вычисляем по формуле (144):

Расстояние между параллельными осями и
равно

Следовательно,

Искомый радиус инерции стержня определяется по формуле (142);

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
Момент инерции тела относительно оси |
Теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей |
Об основных теоремах динамики |
Количество движения точки и системы |