Оглавление:
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. В этом подразделе мы рассмотрим ряд Фурье интегрируемых функций, где квадрат также интегрируется (где интегрируемость обычно понимается в неуместном смысле) в интервале[-1, z].важно отметить, что если функция/такова, что сегмент[-I, I]имеет конечное число особенностей (см.§ 55.1), то можно интегрировать Римана в любой сегмент, который не содержит особенности и его Квадрат/ 2.Интегрируем с интервалом [i, i], то из неравенства Функция / / / может быть интегрирована в этот сегмент. Вообще говоря, обратное неверно. Есть и положительные черты. Например Особенности Может быть интегрирован в интервал [i, i]、 Этот квадрат, однако, больше не может быть интегрирован на нем.
Заметим, что понятие функции с интегрируемыми квадратами аналогично введено для любого конечного интервала. Людмила Фирмаль
- Таким образом, заданный набор функций квадрата, который может быть интегрируемым интервалом[-I, I], представляет собой подходящее подмножество набора всех функций, которые могут быть интегрируемыми абсолютно без сегментов[-I, I]. Теорема 11.Функция квадрата, которая может быть интегрирована с интервалом [i, z].Тогда, если 8n (x) сумма Фурье Порядка n、 (55.48)） [/’(х) 8н(х)] 2 (1Х = \ Пип [/(х)-ТН (х)] 2 c1x、 т-Я. Где минимальное значение справа от уравнения принимают все треугольные многочлены Порядка N или меньше Tn. 55.9.
Минимальные характеристики коэффициентов Фурье Триста семьдесят девять если A0, an, bn, n = 1, 2-коэффициент Фурье/, то неравенство Со мной / + 2 + я 5/2 (х) ух, (55.49） с-1-л Неравенство Бесселя называется доказательством К. Пусть будет так П ТН(х)=—+ ^ АХО КХ $ + БК $ txx все、 4 = 1 Затем откройте квадратные скобки выражения 1 [[(х) ТН (х)] СНХ(55.50） Используя § 55.1 леммы 1(в частности, ортогональность тригонометрической системы)、 Я р п 4 = 1 Да. Два Л.».Одиннадцать、 ^ /(х) Φχ+ + YΛ, е ^ /(Λ -) сох ХХ + к-1-я \Ьк ^ /(х) 81n КХ ух Л. Второй + Л = | / 2(* K1 ′+ I (41+ 2 4 = 1 4 = 1 = ^ п(х) ух + Г-1 Д-Л (A1G ^ + 2(^ -а*) 2 +(Б * б ） 4 = 1 П. °+А1 + ов (55.51)） 5 [/(х)-Миннесота(*)]«Т = 5/2(х) ух+ я {§ +2 А% -+ Б％ 4 = 1 Из полученной формулы находим: A0 = an, Ak = ak, Bk = Lk, k-1,2,…, То есть если Tn(x) сумма, то мы видим, что сумма (55.50) принимает минимальное значение.
- Фурье функции/Порядка N 8н (х). Первое описание теоремы доказано. Ф. Бессель (1784-1846) немецкий астроном и математик. § 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста восемьдесят Откуда I с. 71 ( * )] 2 ух ^ / 2 (а’) ух-л 2 «+ 2 Л. _ Я ^ П (х) DX-я-4-2 х% \ б (55.52)） * = 1 * = 1 Если Tn (x)= 8n (x) сумма Фурье Порядка n, то из(55.51) Это неравенство справедливо для любого положительного целого числа n. если вы перейдете к этому пределу как n -* -°, вы получите неравенство Е1 С Р $ П (х)с / х-я| + ^ » 1 + & 1 Это, очевидно, эквивалентно неравенству(55.49). Ноль Из неравенств Бесселя, для функций с интегрируемыми квадратами, ряд ОО §+ 2 Н = 1 Он сходится. Поскольку общий член сходящегося ряда стремится к нулю, то при рассмотрении он равен Fm an = Fm&n = 0. п + ко п + ко
В разделе 58.6 фактически показано, что уравнение (55.49) справедливо для знака равенства. Здесь мы докажем этот факт только в том случае, если функция/имеет 2π-период подряд. Теорема 12.Функция / непрерывна на интервале [i, i], ((i)= f (i), a, a, a, bn, n-1, 2,…Предположим, это коэффициент Фурье. И равенство. Я же СБ ^ 5 / （）** = 4 + 2 + I Р = 1 Это называется равенством Парсеваля*). Доказательство. Для каждого e 0, благодаря полноте в смысле среднеквадратичного приближения тригонометрии * ’М. Парсеваль (1755-1836) французский математик. 55.10.Природа сходимости рядов Фурье Триста восемьдесят один.
Поэтому я снова проверил, что коэффициенты Фурье стремятся к нулю, но на этот раз он уже, чем раньше (как упоминалось в начале этого раздела) о классах функций, то есть классах функций с интегрируемыми квадратами. Людмила Фирмаль
- Существует метрическая функция (55.2) класса непрерывных функций, которая принимает одинаковое значение на обоих концах интервала [i, i], и тригонометрический полином T (x) степени k для функции/ Я В ^ [НХ)-Т(Х)] * 1х г.(55.53)） Я. .. Согласно теореме 11 (см. (55.48)), неравенство суммы Фурье той же степени k 81r (x) $ [/(x) 5Y (x)] и c1x^ T (x)] 2 Ox. Я. я. Отсюда и из формул (55.52) и(55.53). Один Л О! + Г, а% + б％ Я = 5 [!(Х)-8К (х)^ ух ^ Я-это я. $ [/( * )Гамма ( * )] 2 e. Я. .. Это неравенство справедливо для всех e 0s, поэтому его левая сторона равна нулю. Ноль Если гипотеза теоремы следствия удовлетворена、 Тридцать одна Тю ^ [/(х)-8н(х)] 2 топора = 0. Действительно, по теореме. 12 как n * правая часть уравнения (55.52) стремится к нулю. Ноль.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
