Оглавление:
Метод замены множителей на множители равных знаков
При использовании обобщённого метода интервалов для решения неравенств полезным может оказаться следующий подход, называемый в данной книге методом замены множителей на множители равных знаков. Некоторые авторы, например, Дорофеев Г.В., относят этот метод к разновидности обобщённого метода интервалов, а другие, скажем, Моденов В.П., называют методом логических схем равносильных высказываний. Рассмотрим суть этого подхода.
Пусть, например, решается неравенство вида

(количество сомножителей в числителе
и знаменателе дроби, а также знак неравенства могут быть произвольными). Пусть для одного из сомножителей (ради определённости будем считать, что это
сомножитель ) нашлась такая функция
, определённая на ОДЗ неравенства, что она обращается в нуль одновременно с
, а при остальных x из ОДЗ имеет тот же знак, что и
. В остальном, вообще говоря, функция
может иметь любой вид. Тогда исходное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству

(сомножитель заменили сомножителем
того же знака). Приведём наиболее типичные примеры использования этого подхода.
1) Если в неравенство (1) входит множитель вида
, то его можно заменить в целях упрощения решения задачи на множитель
вида
, не содержащий модулей, так как
знаки выражений
совпадают (обращаются в нуль они также одновременно).
2) Множитель логарифмического вида
на ОДЗ задачи заменяют эквивалентным ему по знаку, но более простым множителем
нелогарифмического вида
. Множитель
в виде разности двух логарифмов по одному основанию
заменяют на ОДЗ (т.е. при дополнительном условии
произведением вида
Поскольку в результате применения этого метода трансцендентное неравенство (логарифмическое, показательное и т.д.) часто приводится к рациональному виду, то его в этих случаях относят к методам рационализации.
Пример №215.
Решить неравенство

Решение:
Входящие в данное неравенство логарифмы определены при . Преобразуем числитель дроби

или

Теперь, помня об ограничении , заменим и числитель, и знаменатель на более простые выражения алгебраического вида (эквивалентного знака), перейдя к равносильному неравенству

Разложив знаменатель на множители и упростив, приходим к неравенству

откуда с учётом ОДЗ находим ответ:
3) Множитель показательно-степенного вида на ОДЗ неравенства (т.е. при дополнительном условии
также заменяют произведением
Пример №216.
Решить неравенство

Решение:
Приведём неравенство к виду

и, применяя указанный выше приём, перейдём к эквивалентному ему дробно-рациональному алгебраическому неравенству:


Ответ:

4) Множитель вида можно заменить при условии
множителем
а множитель вида
соответственно множителем
(при условии
).
5) Множитель иррационального вида заменяют при условии
рациональным выражением
, а множитель вида
при любых
и
соответственно разностью
и так далее.
Пример №217.
Решить неравенство

Решение:
ОДЗ: Выполним равносильные преобразования:

С учётом ОДЗ приходим к ответу:
Применение этого метода на практике часто позволяет существенно упростить решение неравенства и сэкономить время. Важно лишь отслеживать равносильность этих переходов.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: