Метод проекций. Образование чертежа по Монжу. Проекции точки
Метод проекций. Проекции центральные и параллельные. Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование. Свойства параллельного проецирования. Метод Г. Монжа.
Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. Проекции могут быть центральными и параллельными. Если все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проекций , то проекции называются центральными. Если проецирующие лучи параллельны между собой, то проекции называются параллельными.
На рис. 1.1, а показано построение центральных проекций точек и
(объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций
. Проецирующие лучи, проведенные через центр проекций точку
и заданные точки
и
, пересекаются с плоскостью проекций
и определяют центральные проекции
и
точек
и
.

На рис. 1.1,6 показано построение параллельных проекций точек и
(объекты проецирования) по заданному направлению проецирующих лучей
на некоторую плоскость проекций
. В результате проецирования на плоскости проекций
построены параллельные проекции
и
взятых в пространстве точек
и
.
Запомните! Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.
Соединив прямой линией взятые точки и
мы получим отрезок
, а соединив прямой линией построенные проекции точек мы получим центральную (рис. 1.1, а) и параллельную (рис. 1.1,6) проекции отрезка
на плоскости проекций
.
Параллельные проекции могут быть прямоугольными (ортогональными) или косоугольными:
- если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то проекции (или проецирование) называются прямоугольными (ортогональными);
- если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°), то проекции называются косоугольными.
Отметим некоторые свойства параллельного проецирования:
- проекцией точки является точка;
- проекцией прямой линии в общем случае является прямая;
- если отрезок прямой делится точкой в определенном отношении, то проекции прямой делятся проекцией точки в том же отношении;
- если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.
Точка в системе плоскостей проекций ,
и
. Проекции точки в системе прямоугольных координат
.
Для получения изображений предметов на чертежах французский геометр Гаспар Монж предложил следующий метод — метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
На рис. 1.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций:
- фронтальная плоскость проекций
;
- горизонтальная плоскость проекций
;
- профильная плоскость проекций
.

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами. Слева от плоскости проекций располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в 1-м октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют его на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций
,
и
, построив соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции предмета.
В качестве объекта проецирования на рис. 1.2, а взята точка и построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:
- —
— горизонтальная проекция точки;
— фронтальная проекция точки;
- —
— профильная проекция точки.
Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций: ось , ось
и ось
.
Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат ,
и
. Оси проекций пересекаются в точке
— это точка начала координат.
Расстояния точки от каждой плоскости проекций определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами:
- координата
— расстояние от плоскости проекций
(абсцисса);
- координата
— расстояние от плоскости проекций
(ордината);
- координата
— расстояние от плоскости проекций
(аппликата).
Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций ,
и
и получить чертеж (эпюр), плоскости проекций первого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций
следующим образом:
- фронтальная плоскость проекций
сохраняет свое положение;
- горизонтальную плоскость проекций
поворачивают относительно оси проекций
вниз;
- профильную плоскость проекций
поворачивают относительно оси проекций
вправо.
На чертеже (см. рис. 1.2, б) координатные оси проекций располагают следующим образом:
- ось
— горизонтально;
- ось
— вертикально;
- ось
— раздваивается и проводится как продолжение осей
и
от точки
— начала координат.
Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета.
Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т. д.).
Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по координатам этой точки.
На рис. 1.2, б показано построение чертежа произвольной точки , заданной на рис. 1.2, а, положение которой в пространстве определяют координаты
и
. Для построения чертежа этой точки выполнены следующие графические действия:
- влево от точки
по оси
отложен отрезок
— координата
;
- вниз от точки
отложен отрезок
— координата
(отрезок
на чертеже в 2 раза больше, чем на наглядной картине) и построена горизонтальная проекция
точки
.
- вверх от точки
отложен отрезок
— координата
и построена фронтальная проекция
точки
.
!!! Запомните! Горизонтальная и фронтальная
проекции точки лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси
, которая называется линией связи.
Чтобы построить профильную проекцию точки, следует провести горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций
, и отложить от полученной точки
отрезок
равный координате
(или отложить от точки
вправо по оси
отрезок
и провести вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки
.
!!! Запомните! Фронтальная и профильная
проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи, перпендикулярной оси проекций
.
На рис. 1.3 показано построение чертежа точки по заданным (в скобках) координатам
,
и
в миллиметрах. Выполнены следующие графические построения:
- проведены оси координат
,
и
на поле чертежа;
- от точки
влево отложен отрезок
-координата
и через точку
проведена вертикальная линия связи;
- вниз от точки
по линии связи отложен отрезок
— координата
и построена горизонтальная проекция
точки
;
- вверх от точки
по линии связи отложен отрезок
— координата
и построена фронтальная проекция
точки
;
- проведена горизонтальная линия связи от фронтальной проекции
;
- от точки
отложен вправо отрезок
, равный координате
, и построена профильная проекция
точки
.
Структуризация материала первой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 1.4 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 повторно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 1.5 и 1.6).

Аппарат проецирования объект проецирования; плоскость проекций; направление проецирующих лучей.
Проекции называют центральными, если проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проекций
Проекции называют параллельными, если проецирующие лучи параллельны (центр проекций удален в бесконечность).
Параллельные проекции могут быть
• Косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций
• Прямоугольными, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций
На чертеже
Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита … и т.д, или арабскими цифрами 1, 2, 3, и т.д. Проекции точек обозначаются теме же буквами, или цифрами, но со штрихами
и т.д.;
,
и т.д
Линии обозначаются строчными латинскими буквами и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами
и т.д
Плоскости обозначаются греческими буквами и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами
и т. д.


Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:
Начертательная геометрия для 1 курса
Возможно эти страницы вам будут полезны: