Оглавление:
Метод оценок
При решении задач в целых числах иногда используется подход, основанный на построении и применении различного рода оценок выражений, входящих в условия задач. Рассмотрим примеры.
Пример №55.
Доказать, что уравнение
не имеет целых положительных решений.
Доказательство. Пусть, ради определённости, 
Тогда
откуда находим оценку 
т.е. 
— не удовлетворяет условию задачи. Аналогично рассматривается случай 
Пример №56.
Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Найти эти числа (наборы, а не упорядоченные тройки).
Решение:
Пусть x,y,z — искомые натуральные числа. Условия задачи приводят к уравнению
Очевидно, что для того чтобы это равенство выполнялось, необходимо, чтобы хотя бы одно из чисел не превосходило 3. Без ограничения общности будем считать, что 
. Тогда X = 2 или X = 3 .
1) Пусть X = 2 , тогда
хотя бы одно из чисел у или z не превосходит 4. Ради определённости, пусть это 
. Тогда у = 3 или у = 4 . В первом случае z = 6 , и имеем три числа 
. Во втором случае Z = 4 , и находим ещё одну тройку {2;4;4}.
2) Пусть теперь X = 3, тогда
хотя бы одно из чисел у или z не превосходит 3. Ради определённости, пусть это 
. Тогда у = 2 или у = 3. В первом случае z = 6 , и имеем числа {3;2;6} — уже было. Во втором случае z = 3 , и получаем набор { 3;3;3} .
Ответ: это наборы чисел {2;3;6}, {2;4;4}, {3;3;3}.
Пример №57.
Найти все упорядоченные тройки (x,y,z) натуральных чисел, удовлетворяющих равенству
Решение:
Приведём уравнение к виду 
Так как 
, то получаем: 
1) Если x = 1, то, подставляя в уравнение, находим 
, что невозможно, так левая часть в этом равенстве больше 1, а правая — меньше 1.
2) Если x = 2 , то получаем 
Справа стоит целое число, следовательно, 
, откуда 
При z = 1 имеем 
при z = 2 имеем 
при z = 4 находим у = 3 . Ответ: 
Пример №58.
Непустое множество X состоит из конечного числа N натуральных чисел. Чётных чисел в X меньше двух третей от N , а нечётных не больше 36% от N . Какое минимальное значение может принимать число N ?
Решение:
Пусть n — число нечётных чисел в X . По условию,
Воспользуемся тем свойством, что для целых чисел m,k строгое неравенство 
равносильно нестрогому 
. Поэтому
По свойству транзитивности из последнего неравенства получаем, как следствие, оценку
Далее действуем перебором (с проверкой).
Если N = 13 , то, подставив в неравенство (1), получим: 
что невозможно при целых n .
Если N = 14, то, подставив в неравенство (1), получим: 
Этому условию удовлетворяет n= 5 (т.е. нашлось n). Ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
