Оглавление:
Метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля)
- В 3 пункте 2-й главы метод Ван дер Поля был применен для интегрирования дифференциальных уравнений свободных нелинейных колебаний. Этот метод может быть использован для исследования вынужденных колебаний нелинейных систем. Читатель должен прочитать обзор теории 3 2. Для колебаний, возникающих на круговых частотах изменения возмущающей силы, рекомендуется следующий набор задач 1 объединить дифференциальные уравнения JP A x p x, X bsinp , где H sin pt соответствует силе возмущения, -малый параметр, f x, A — нелинейная функция x и A.
Добавить формулу пункта 1 в левую и правую части элемента psx и представить ее в следующем формате Х р х F х, Д Где F х, А, Ф Р -А х р х, а грех РФ 3 найти закон вынужденной вибрации в виде х asinx esin p a , где постоянная амплитуда a и постоянная начальная фаза A подлежат последующему определению. 4 правая часть уравнения, пункт 2 функция x A sin , orsow, С т. е. Г х, я 7 asinip, arsovf 5 Создание одновременных уравнений F asintj , Dp cos , cos 0, 1 Ф А З НФ, потому что АР Ф ЧФ ф ф 0 2 6 после вычисления конкретного интеграла решить систему уравнений 1 и 2 алгебраически относительно a и A. 7 подставить полученные значения А и А в искомый закон движения, записанный в пункте 3.
Определить закон колебаний маятника и положение его центра качаний, если он подвешен за свободный конец стержня. Людмила Фирмаль
Применение метода ван дер поля является эффективным методом определения первого приближения решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний нелинейной системы. Задача 20.9.Вал, который зажат на одном конце и свободен на другом, представляет собой уравновешенный диск момента 1L инерции где r-ось симметрии вала и совершает крутильные колебания. Применить к диску момент упругой силы ty — Момент сопротивления-mr — rf, а момент возмущения-Meslnpt. Где cr, p, Mo, p-положительная постоянная, cs-малый параметр, а p-угол поворота вала. Масса вала игнорируется.
Используя метод ван-дер-поля медленно изменяющейся амплитуды, находим закон вынужденной вибрации диска, возникающий при круговой частоте изменения возмущающей силы. Решение. Используя дифференциальное уравнение для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси r, запишем ГФ t1g МТИ tzg. подставляя указанные значения ti, ti и ti, представим это уравнение в виде пришло время, чтобы начать — уф8-2lf a sinpf Где 2n p 1r, h MJII, далее Бно с, г-малый параметр.
Если вы добавите p f к левой и правой сторонам этого уравнения, вы получите Р2 п п, , , 1 Куда Ф ф, ф, ф 2 —А Ф-vf5 −2в J грехов Т 2 Найти решение уравнения 1 в виде м Асин ПФ а Т 3 Где А и а-постоянные амплитуды и начальные фазы, подлежащие последующим определениям, а р-круговая частота момента заклинивания. чтобы определить a и a, в 2 подставим функции a sin , arsozf и f d a.
- В этом случае, согласно 4, форма одновременных уравнений 1, 2 имеет вид. П8 —а а-j-фут потому что htfsovfff- 2 WР ftsina потому что cftp- — ya3 J sin P cosфФф 0, 5 Р2-а ч потому что Дж СЛН Фф — 2anp-Ж — Н зта Дж Cosфsinффф- Второй — ya3 J sin Фф 0. 6 При вычислении конкретного интеграла используются формулы cos t — — l Cosi , sin2i y l-cos2p , —g-cos2ip — g-cos4t , а в 1-м и 3-м интегралах уравнения b и во 2-м Интеграле уравнения 6 Используем подстановку sini Z. После вычисления интегралов уравнений b и 6 получаем 2anp islna 0, 7. р -в качестве ftcosa-4ve, 0- 8 Если сопротивления нет, т. е.
Находим a 0.в этом случае формула 8 принимает вид формулы 20.8, аналогичная задача решается методом даффинга при отсутствии сопротивления. Для решения системы 7, 8 представим эти уравнения в виде bsina −2apr, BCOSA A p a —уа8. 9 Если вы добавите уравнение 9 в квадрат — П1 — Л 10 4JE1 11 Чтобы определить искомую амплитуду, а, решим уравнение 11 графически. Если мы введем обозначение a x и сравним левую и правую части выражения 11 4- t 4 Вт 12 Затем в системе осей xy сделайте точки вдоль кривой, соответствующей 2-му уравнению 12, и нарисуйте прямую линию, которая описывается первым уравнением 12.Абсцисса пересечения фиксирует искомое значение x a.
С помощью дифференциального уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси можно решать как прямые, так и обратные задачи динамики. Людмила Фирмаль
При создании кривых и прямых необходимо сохранять параметры a, k, n и f постоянными и изменять значения пропорций p k. In в этом случае мы видим, что 1 точка пересечения линий и кривых соответствует определенной области значения p k, 2 точки пересечения соответствуют определенному значению p k и, наконец, 3 точки соответствуют остальной части области p k Решение задачи 20.8 см. стр. 407-408 подробно описано на графике с графическим решением уравнения 14 R p A , построенным на рисунке, в случае аналогичного хода, используемого задачей 20.8 при отсутствии сопротивления. Если вы запустите графическое решение уравнения 11 в задаче дня, вы получите зависимость.
Фиксированное значение f pfk n однако можно получить семейство кривых, если выполнить набор графических решений формулы 11 для равных значений n. p A , каждому из которых соответствует определенное значение параметра n, характеризующего момент сопротивления. Эти кривые показаны пунктирными линиями на рисунке. Используемая задача 20.8.In в этом случае существует также феномен прыжка, который описан в выпуске 20.8. Зная величину амплитуды а, соответствующее значение начальной фазы а можно видеть из первого выражения 9.Это сдвиг между фазой возмущающего момента и вынужденным колебанием. Возьми х -арксинуса — Я не уверен.
Знак минус формулы 13 указывает на фазовый ЛАГ вынужденного колебания от момента возмущения. Используйте уравнение 3 уравнения 13 для описания искомого закона вынужденных колебаний. a sin pt-arcsin 2a p-j. где амплитуда a является корнем уравнения 11 и решается графически.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
