Метод Леви-Чивита

Метод Леви-Чивита

Планка Н. Е. Жуковским, а также Митчелем было предложено видоизменение метода Кирхгоффа, состоящее в замене функции через функцию и в разыскании затем конформного отображения разрезанной плоскости на ту часть плоскости , которая соответствует области течения в плоскости. Если обтекаемый контур составлен из прямолинейных отрезков, то разыскание упомянутого отображения может быть достигнуто при помощи известной формулы гидромеханики Шварца Кристоффеля, потому что в этом случае границам области течения плоскости будут соответствовать в плоскости прямые Х , и У . В самом деле, написав , гсо оо е заметив, что мы видим, что, следуя по пограничной линии тока ф.

О плоскости ж вдоль плоской стенки, мы будем иметь К а ., а следуя вдоль свободной пограничной струи, где х. мы получим Хп . В качестве первого примера рассмотрим задачу об истечении жидкости из сосуда, ограниченного двумя бесконечными симметричными стенками. Выберем оси Ох и О у в плоскости , как указано на рис. . Обозначим через а угол, под которым наклонены стенки сосуда к отрицательной оси Ох, и через ширину отверстия ВВ сосуда, наконец через обозначим расход.

Если ширину струи на бесконечности обозначить через , а скорость струи на у бесконечности обозначить через с, то мы будем иметь очевидное соотношение . Чтобы полностью определить Ь и с, нам надо будет найти еше одно соотношение между неизвестными величинами Ь и с и данными , , . Принимая, что на линии тока функция тока ф мы должны иметь на линии тока АВС Жуковского Митчеля соотношение ф , чтобы получить заданный расход .

1. Потенциал с меняется как на линии , так и на линии АВС от со до ос мы примем, что значение в точках В и В равно тогда в плоскости комплексного потенциала Р ср гф области течения будет соответствовать полоса рис. ширины .
2. преложенной справа от оси О у, так как очевидно, что с. Чтобы получить конформное отображение этой полуполосы на полосу в плоскости , введем еще одну вспомогательную плоскость и примем, что области течения соответствует на этой плоскости верхняя полуплоскость рис. .
3. Как известно, такое конформное отображение полностью определяется, если задано соответствие трех контурных точек.

Примем поэтому, что точка С переходит в точку О, точка В в точку и точка А в точку . , при этом по симметрии точка В перейдет в точку Нетрудно теперь определить р зависимость и от . Найдем сначала функцию. Если на Рис. . время рассматривать плоскость как плоскость некоторого фиктивного течения, как соответствующий комплексный потенциал, то очевидно, что все линии тока должны идти из точки А в точку С, причем количество поступающей в точку С из верхней полуплоскости жидкости равно.

Но как раз такое течение мы должны получить, если представим себе, что в точке С находится сток интенсивности и что никаких других особенностей больше нет. Значит, можно принять, что , … А произвольная постоянная пропадет, ибо при должно быть ъу . Можно, впрочем, непосредственно проверить, что эта функция отображает верхнюю полуплоскость на полосу АС плоскости . Чтобы найти функцию , надо найти конформное отображение полуполосы плоскости на верхнюю полуплоскость . Рассматривая эту полосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность, отобразим его на верхнюю полуплоскость вспомогательной комплексной переменной по формуле Шварца Кристоффеля.

Последняя формула, как известно, имеет вид г Л … . и служит для конформного отображения внутренности некоторого угольника плоскости с внутренними углами ал иа верхнюю половину плоскости периметру многоугольника будет соответствовать вся вещественная ось точки которой …, отвечают вершинам многоугольника постоянные А и В зависят от положения и ориентировки многоугольника на плоскости .

В функцию . входят п независимых между собой параметров п вещественных чисел . п из п чисел я, ап, связанных известной из геометрии зависимостью лп г, и по два параметра в каждом из комплексных постоянных А и В. Так как вид и положение многоугольника вполне определяются заданием п координат его вершин, то мы заключаем, что при пользовании формулой Шварца Кристоффеля можно по произволу располагать тремя параметрами, задавая, например, наперед что вполне согласуется со сказанным выше о полной определенности конформного отображения при задании соответствия трех контурных точек. В нашем случае в вершинах треугольника ВВА имеем углы причем вершинам В, В А соответствуют в плоскости точки , , со.

Но в случае, когда я оэ, формула Шварца Кристоффеля принимает вид . Применяя ее к нашему случаю и замечая, что О при , получим г г. С . будет равна Расположим оси координат, как на линии тока, упирающейся иетяляющейся затем на и ОАВ тогда на верхней границе струи С В будет , а на нижней СВ будет . Принимая еще, что в точке О значение потенциала р равно нулю, получим отображение области течения на пло £ скость комплексного потенциала в виде симметричной относительно вещественной оси Рис. . полосы ширины , разрезанной по положительной вещественной оси рис. .

• Отображения точек А и А лягут в одну и ту же точку с двух сторон разреза. На плоскости рис. верхней половине пластинки , на которой О .т, будет соответствовать верхняя часть чисто мнимой оси, идущая из бесконечности до точки С внутренней границе струи АВ, на которой с, будет соответствовать дуга АВ окружности единичного радиуса с центром в точке С , идущая от точки С до точки С , где т есть угол, под которым наклонено к первоначальному направле Рис. . нию струи направление скорости в каждой из двух струй, на которые разбивается струя вследствие удара наконец, на внешней границе струи С В тоже будет с, а угол меняется от т в точке В до в точке С, поэтому ВС перейдет на плоскости С в дугу ВС единичной окружности, заключенную между точками £ ет и С . показано па рис. .

Пусть в середину пластинки О и раз Проводя эти рассуждения, нетрудно убедиться, что область течения перейдет на плоскости С в правую полуплоскость за вычетом полукруга, ограниченного полуокружностью ЛВС ВА рис. . Чтобы найти конформное отображение друг на друга двух областей, полученных нами в плоскостях и С, представим себе на время, что плоскость С представляет плоскость некоторого фиктивного течения, есть комплексный потенциал этого течения. Все линии тока идут, как видно из рис. , из точки С либо в точку В. либо в точку В. Проводя эти линии на плоскости С, мы можем заключить, что в нашем фиктивном течении точка С представляет источник, а точки В и В стоки.

Чтобы линии и были линиями тока, необходимо поместить в точках В и В симметричных с точками В и В относительно оси стоки той же интенсивности, что в точках В и В, а в точке С, симметричной с С, источник той же интенсивности, что и в точке С. Тогда получится картина течения, изображенная на рис. . Очевидно, что в точках С и С нужно поместить источники с интенсивностью , так как только половина этого расхода будет исходить из точки С в первоначальную область течения, ограниченную линией ОАВСВАО. Точно так же в точках В, В, В, В надо поместить стоки интенсивности . Нетрудно теперь по полученным источникам и стокам построить комплексный потенциал.

• Тогда можно написать и, следовательно, формулу . можно представить в следующем виде .
• Который будет использован при изучении газовых струй. другая далеко справа, и еще плоскость, перпендикулярную к пластинке и пересекающую струйку.
• Разность между количеством движения, входящим за время через левую плоскость, и количеством движения, выходящим за тот же промежуток времени через правую плоскость, будет, очевидно,.
• К этому надо прибавить приращение количества движения за счет течения в струйке.
• Проекция на горизонталь этой величины будет р. Если Р давление на пластинку, то горизонтальная проекция импульса сил за время с будет . Итак, сопротивление будет .

Умножая это выражение на , получим подъемную силу Р р . . Очевидно, что момент гидродинамической силы относительно задней кромки пластинки будет М где р давление на пластинку, определяемое при помощи интеграла Бернулли. Интеграл, входящий в ., не столь элементарен, как остальные интегралы настоящего параграфа. Однако и он может быть вычислен точно Приведем только конечный результат приведены картины распределения давления по пластинке, полученные при помощи интеграла Бернулли и формул . и .. Всюду подобрано одно и то же.

Эти распределения давлений удовлетворительно согласуются с опытами. При малых углах атаки £, пренебрегая в квадратных скобках правой части . членами, малыми по сравнению с р, получим . Калинин Н., О моменте давления, действующего на глиссирующую пластинку, Ученые записки серия. Если конечно, то о является малой величиной второго порядка. Из ., . и . следует, что сопротивление , а подъемная сила. Момент относительно задней кромки будет равняться при этом о Формулы эти показывают, что при малых углах атаки подъемная сила глиссирующей пластинки равна половине подъемной силы Рис. .

Плоского крыла и что точка приложения подъемной силы у глиссирующей пластинки помещается, как и у крыла, на расстоянии от задней кромки см. формулу . и . В нашей задаче мы предполагали жидкость бесконечной. Задача о глиссировании с учетом дна решается при помощи э . Метод ЛевиЧивиты. ЛевиЧивита принадлежит к математической постановке задачи в случае обтекания струи, когда происходит срыв контура кривой Границы всех направлений текут.Предположим, что на криволинейном контуре имеется угловая точка а рис., являющаяся точкой ветвления потока и критической точкой потока, скорость которого теряется. Иточка схода со свободной струи и контуров, между которыми существует бесконечно расширяющаяся зона застоя. для упрощения расчетов мы управляем выбором единиц так, чтобы бесконечная скорость потока имела значение , и направляем ось параллельно вектору, с точкой в качестве начала координат.Эта ось не должна пересекать границу участка.

Тогда, как показано в, существует соответствие к между точками области теченияв плоскости и всеми точками плоскости комплексного потенциала . разрезанного вдоль положительной части материальной осирис. . Рисунок . Рисунок . Используя преобразование, сопоставьте плоскость разреза с плоскостью в верхней половине вспомогательной переменной рис.. з т т МК,. ！ Гуревич М. И… И Я. мпольский А. Р. о движении борта, скольжении, техника воздушного флота, МС , .Безводная жидкость, Паш, Т. на конечную глубину.В Проблема. , . Седов Л. И… , Проблема скольжения плоскости по поверхности тяжелой жидкости.Протокол конференции по теории волнового сопротивления, под ред. ЦАГИ, .Для численных расчетов см. Чаплыгин С. С., ЦАГИ, Ш., . Рисунок .

Тогда получается, что отрезок вещественной плоскости соответствует контурному сечению плоскости длины и расположен в общем случае асимметрично относительно начала координат плоскости , а на вещественной оси плоскости вспомогательной переменной между точками и искомое преобразование очевидно. Людмила Фирмаль

Это полезно для дальнейшего рассмотрения использования отношений. См Преобразование. принимает форму Т АС потому что эо ТФ потому что ц. Наконец, используя известное преобразование, сопоставьте верхнюю полуплоскость с внутренней частью верхней половины единичного радиуса вокруг начала координат плоскости новой переменной . . В этом случае реальный отрезок оси плоскости соответствует дуге рис. окружности, а внешняя часть этой же оси от до и от до радиус окружности и соответствуют стандартной координате плоскости ,. перемещается в точку , которая находится на окружности в плоскости . точка. Точка с соответствует. Параметры и известны, или и одинаковы.Затем устанавливаются формулы преобразования. Список песен Рисунок .

Все точки поверхности разреза и к соответствуют точкам плоскости в указанном полукруге и его внутренней стороне.Этого достаточно, чтобы создать фигуру линии потока в плоскости , но в качестве полного решения задачи о потоке, вам нужно найти преобразование, которое будет отображать область потока плоскость на плоскость , или, что эквивалентно, внутри полукруга плоскости выше, плоскость линия, соответствующая линии потока величина, связанная с уравнением линии потока плоскости ., и таким образом потому что о Ф Би и Наконец, получаем уравнение искомой линии плоскости , передавая его по формуле . на переменную . Линия этого семейства кривых го порядка, заключенная в полукруг, описанный выше, соответствует семейству линий тока в плоскости область течения . В этом случае линия потока исходит из точки на оси и разветвляется в точке , соответствующей участку плоскости.

Заключенный в пределах полукруга выше. Кривая го порядка касательна к мнимой оси в начале координат и приближается к асимптотической линии вне полукруга Внутри полукруга эта кривая го порядка делит линейное семейство . на пучка замкнутых линий, соответствующих плоскостным областям потока и линиям потока. Для решения основной задачи отображения области течения на плоскость ЛевиЧивита использует переменную Кирхгофа СП и переменную Жуковского в комплексе Переменная Величина вектора текущей скорости показана через , а наклон скорости от до оси показан и для краткости введена нотация.

Предположения, лежащие в основе теории обтекания струи, позволяют предварительно охарактеризовать поведение переменной на границе области плоскости , соответствующей области течения плоскости . следовательно, точка ,, Соответствует точке ветвления , а соответствует значению ω ω.При следовании вдоль пастбища и действительной части градиента вектора скорости , или переменной , необходимо получить известную последовательность значений, определяемую формой контура, вплоть до точки срыва единичной окружности струи Вг и В, соответствующей участку обтекаемого контура из угловой точки . переменная , равная , будет иметь вещественные значения, а точки , соответствуют значениям , и , .Где угол касательной к контуру точки разрушения струи.

Видно, что задача отображения области течения плоскости на конформалы внутри верхнего полукруга плоскости заключается в нахождении функции ω , регулярной при обтекании со срывом струй внутри полукруга и удовлетворяющей указанным граничным условиям. Подставляя эту формулу в . и интегрируя ее в диапазоне от значения при до , заключенного в полукруг, получаем искомое преобразование в виде Чтобы найти функцию , примените известный принцип симметрии Лемана Шварца.Функция внутри верхнего полукруга регулярна, а горизонтальный диаметр непрерывен с вещественными числами в каждой точке, так что функция может аналитически продолжаться в Нижнем полукруге по принципу симметрии.

• То есть определить значение функции каждой точки , сопряженной с точкой Нижнего полукруга,, функция , которая продолжается таким образом, является регулярной в пределах всего круга Φ , а сам круг имеет два сингулярных сопряженных и даже больше.
• Действительная часть искомой продолженной функции , зависит от формы контуров контура, и эффективное определение этой функции очень затруднительно.Учитывая обратную задачу, вы можете представить данную функцию Φ с параметром как , .кроме того, из физического значения , которое является углом, оно остается конечным для , следующим образом.
• Обратите внимание,что функции ,и , являются гармоническими внутри всего единичного круга, поэтому вы можете построить , из значений на круге, используя известный Интеграл Пуассона.

Из построенной гармонической функции всегда можно найти гармоническую функцию, которая сопряжена с ней.По известной формуле из теории функции комплексной переменной Эти формулы определяют функцию, необходимую для формы Что проверить, проверяя. Людмила Фирмаль

Потому что при условии аналитического продолжения функция Φ должна удовлетворять равенству Затем, после простого вычисления, вы получаете формулу для функции Как объяснялось выше, эта ситуация накладывает условие Можно определить параметр . Определив функцию , можно легко найти геометрические и динамические элементы потока. Итак, для координат полукруга в произвольной точке получаем из Формулы . Подставляя сюда значения и , получаем координаты точки пробоя струи.