Пусть необходимо найти корень уравнения вида с точностью
, если известно, что корень принадлежит промежутку
. Графически это означает, что необходимо найти нули
функции — значения переменной , в которых график пересекает ось
, и эти значения по условию должны принадлежать промежутку
.

Рассмотрим функцию на отрезке
(рис. 46.2). График данной функции обязательно пересекает ось
в некоторой точке
. Наша задача — найти абсциссу этой точки — значение
.
Выполним следующие действия:
- Проведем хорду
. Она пересекает ось
в точке с абсциссой
.
- Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна
— точка
.
- Проведем хорду
. Она пересекает ось
в точке с абсциссой
.
- Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна
— точка
и т.д.
Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока разность между последующим и предыдущим
значениями переменной
не станет меньше заданной в условии задачи точности
, т.е.
. Это означает, что
,
практически не будут отличаться от
.
Выведем формулы для нахождения :
1. Выпишем координаты точек и
:
.
2. Составим уравнение прямой :
.
3. Найдем точку пересечения прямой с осью
. Она имеет координаты
. Заменим в уравнении
на
,
на 0:
.
Выразим . По свойству пропорции
.
4. Поскольку для нахождения нужно проводить новую прямую через точки
и
и находить точку ее пересечения с осью
, произведем по аналогии следующую замену: роль
будет выполнять
, роль
. Получим, что
.
5. Обобщим проведенные рассуждения. Для нахождения будем использовать следующую формулу:
.

В рассмотренном нами случае при проводимых преобразованиях точка оставалась неподвижной.
Возможен и другой вариант: неподвижной может быть точка (рис. 46.3). В этом случае будем использовать другую формулу:
.
Для удобства формулы (1) и (2) можно объединить в одну: , где
— абсцисса неподвижной
точки ( или
),
— конец отрезка
, не являющийся абсциссой неподвижной точки,
Правило выбора неподвижной точки:
Неподвижной точкой является тот конец отрезка , для которого знак функции в этой точке совпадает со знаком второй производной функции в той же точке.
Пример №46.2.
Найти приближенное решение уравнения на
, использую метод хорд с точностью
.
Решение:
Составим функцию .
1. Выберем неподвижную точку. Для этого найдем и
:
. Найдем знак функции и второй производной на каждом конце отрезка: в точках 0 и 1.

. Видим, что при
знак функции совпадает со знаком второй производной. Следовательно,
— абсцисса неподвижной точки.
2. Поскольку при решении задачи расчеты получаются достаточно громоздкие, их удобно выполнять с использованием компьютера, например, программы Microsoft Excel.
В качестве шапки таблицы можно предложить следующий вариант:

В столбце будет указываться номер выполняемого шага
. Первое значение
всегда выбираем равным 0.
В столбце будут располагаться значения
и т.д. В качестве
в ячейку
занесем значение того конца отрезка, который не является абсциссой неподвижной точки. В нашем случае это
.
В столбце будут содержаться значения функции в точках
и т.д., необходимые для расчета
по формуле (3). Для нахождения
в ячейку
введем формулу. Поскольку
, а первое значение
находится в ячейке
, то формула будет иметь вид:
.
В столбце будет осуществляться проверка того, не превосходит ли
заданной точности
. Эта проверка будет начинаться с
, и ячейка
не заполняется.
Столбцы и
— вспомогательные. Поскольку в формуле (3) используется
и
, то их можно один раз записать соответственно в ячейках
и
и в дальнейшем делать на них абсолютные ссылки.
После заполнения второй строки, она будет иметь вид:

Начнем заполнение третьей строки. Номер шага в ячейке будет равен 1.
Для расчета в ячейке
применим формулу (3), которая в программе Microsoft Excel примет вид:
. Ссылки на ячейки
и
содержат знак
, т.е. являются абсолютными, и при копировании данной формулы меняться нс будут.
Для расчета в ячейке
достаточно просто скопировать формулу из ячейки
, и она будет иметь вид:
.
В ячейку занесем формулу для расчета модуля разности между последующим и предыдущим значением
. Произведем проверку: если содержимое этой ячейки больше
, то расчеты необходимо продолжить, меньше — закончить.
После заполнения третьей строки, она будет иметь вид:

Достоинства программы Microsoft Excel с том, что нам достаточно ввести только формулы, все расчеты машина произведет сама. Видим, что содержимое ячейки больше заданной точности
, следовательно, расчеты следует продолжить.
Все основные формулы уже введены, в дальнейшем будем использовать только возможности автозаполнения. После выполнения следующих шагов таблица будет иметь вид:

Видим, что в ячейке содержимое 0,006932015 стало меньше заданной точности
, следовательно, расчеты следует закончить и в качестве приближенного решения уравнения взять
последнее с точностью 2 знака после запятой. В нашем примере это
.
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Погрешности вычислений с приближенными данными. |
Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения. |
Метод касательных. |
Задача численного интегрирования. |