Оглавление:
Метод анализа последней цифры числа
В ряде случаев удобным оказывается так называемый метод анализа последней (последних) цифры числа.
Пример №30.
Доказать, что число 19981999200020012002 не является квадратом целого числа.
Доказательство. Натуральное число п может оканчиваться на любую из десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Выясним, на какую цифру при этом может оканчиваться квадрат этого числа:
Среди цифр, на которые оканчивается 
, отсутствует цифра «2». Поэтому данное число не может являться квадратом целого числа.
Пример №31.
Доказать, что ни при каком натуральном п число 
не является квадратом натурального числа.
Решение:
Выясним, на какую цифру может оканчиваться число . Сделаем это последовательно. Сначала оценим последнюю цифру числа 
далее эта последовательность последних цифр 3,9,7,1,3,9,7,1,… циклически повторяется. Оценим теперь последние цифры чисел 
и 
:
далее последовательность последних цифр 4,8,6,2,… также циклически повторяется. Суммируя, получаем,что
и далее эта последовательность последних цифр выражения 
опять-таки циклически (с периодом 4) повторяется.
Таким образом, методом анализа последней цифры удалось установить, что при любых натуральных п число 
может оканчиваться только на цифры 3 или 7. Но квадрат никакого натурального числа этими цифрами не оканчивается (квадрат натурального числа может оканчиваться только на одну из цифр 0, 1,4, 5, 6, 9), что и доказывает утверждение.
Пример №32.
Найти последнюю цифру числа 
.
Решение:
Решим сначала более простую задачу, а именно найдём последнюю цифру числа 
. Выясним, на какие цифры может оканчиваться натуральная степень числа 2:
Очевидно, что при дальнейшем увеличении показателя степени последовательность последних цифр 
будет циклически повторяться. Представим число 
в виде: 
Имеем: 
Заметим, что число 
в скобках оканчивается цифрой 
, и поэтому любая его натуральная степень также будет оканчиваться этой цифрой. Итак, число 
оканчивается цифрой , и это число умножается на четыре. Поэтому последней цифрой их произведения будет 
Если теперь повторить проведенные рассуждения для числа
, то окажется (сделайте это самостоятельно), что добавление одной или нескольких цифр перед 
не оказывает влияния на полученный результат.
Ответ: число оканчивается цифрой
Пример №33.
Существует ли такое натуральное число n ,что 
делится нацело на 2005?
Решение:
Последней цифрой у натурального числа n может быть любая из цифр 
Последней цифрой у числа 
может быть соответственно 
Тогда последняя цифра у числа , как несложно посчитать, может соответственно принимать значения 
Но тогда это число не делится даже на 
, а значит, не может делиться и на 
.
Существуют задачи, решение которых опирается на знание определений и свойств специфических групп целых чисел или же на определённые понятия. К таким задачам можно отнести задачи на простые числа, а также на НОК и НОД. Для их решения разработаны, в том числе, специальные приёмы, учитывающие их специфику. Рассмотрим примеры задач этого типа.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
| Метод анализа делимости нацело. Использование признаков делимости |
| Метод анализа остатков в математике |
| Задачи на простые и составные числа в математике |
| Задачи на НОД и НОК в математике |
