Оглавление:
Метод анализа остатков
В основе метода анализа остатков, который используется при решении ряда задач с целочисленными неизвестными, лежит формула деления с остатком. Суть метода состоит в рассмотрении случаев различных остатков от деления на заданное число, что позволяет в конечном итоге решить поставленную задачу.
В первых трёх примерах, приведённых ниже, в явном виде ищутся остатки от деления одних целых чисел на другие.
Пример №19.
Найти частное и остаток от деления числа (— 23) на 7.
Решение:
Согласно формуле деления с остатком, получаем:
— 23 = — 4 • 7 + 5 , т.е. частное равно — 4, а остаток равен 5.
Пример №20.
Найти сумму остатков, получающихся при делении числа 7263544587435873 на 2, 4, 5, 9, 10, 25.
Решение:
Используя признаки делимости нацело на числа 2,4,5,9,10 и 25, находим остатки:
- остаток от деления на 2 равен 1;
- остаток от деления на 4 равен 1;
- остаток от деления на 5 равен 3;
- остаток от деления на 9 равен 0;
- остаток от деления на 10 равен 3;
- остаток от деления на 25 равен 23.
Суммируя остатки 1 + 1+3+0+3+23, получаем в ответе 31.
Пример №21.
Пусть остаток от деления натурального числа m на 7 равен 3. Найти остаток от деления на 7 числа 
Решение:
Из условия следует, что число m имеет вид: 
. Тогда
Таким образом, остаток от деления числа 
на 7 равен 1.
Пример №22.
Доказать, что при любых целых X число 
делится нацело на 6.
Решение:
Разобьём множество всех целых X на 6 групп в зависимости от остатка при делении на 6, т.е. рассмотрим 6 случаев:
1) Пусть 
, тогда 
2) Пусть 
, тогда 
3) Пусть 
, тогда 
4) Пусть 
, тогда 
5) Пусть 
тогда 
6) Пусть 
, тогда 
Таким образом, мы рассмотрели все целые числа X и доказали, что всегда (в каждом из шести случаев) выражение 
кратно 6.
Замечание. Эту задачу можно было решить иначе. Преобразуем данное в условии задачи выражение:
Каждое из двух слагаемых делится нацело на 6 (первое как произведение трёх последовательных целых чисел), поэтому их сумма кратна 6.
Пример №23.
Учительница принесла в класс счётные палочки. Дети раскладывали их в пакетики. Когда разложили по 2 палочки в каждый пакетик, то осталась 1 лишняя палочка. Затем разложили по 13 штук в пакетик, и тогда осталось 7 лишних палочек. Когда же палочки разложили по 9 штук в пакетик, то лишних не осталось. Сколько, самое меньшее, было счётных палочек?
Решение:
Пусть всего было n счётных палочек. Тогда условия задачи приводят к системе
Таким образом, требуется найти наименьшее натуральное нечётное число п , делящееся на 9 и дающее при делении на 13 остаток 7. Заметим, что в силу нечётности 
число k должно быть чётным, т.е. 
причём меньшему n соответствует меньшее р , но тогда имеем 
Поскольку числа п и 
делятся нацело на 9, то, следовательно, число 
также должно быть кратно 9 (и при этом быть минимальным). Наименьшее целое неотрицательное р , для которого выполняются эти условия, равно 7, откуда находим
Ответ: самое меньшее — 189 счётных палочек.
Пример №24.
После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найти это двузначное число.
Решение:
Обозначим 
— искомое число 
Тогда, по условию, имеем систему уравнений
Решая систему методом подстановки, находим единственное решение, удовлетворяющее всем условиям задачи: x= 8, y = 3 . Ответ: 83.
Пример №25.
Целые числа m, n,k не делятся нацело на 3. Доказать, что число 
делится на 3.
Доказательство. Если 
то возможны два случая: 
и
. В первом случае 
— делится на 3 с остатком 1, а значит, 
, также делится на 3 с остатком 1. Аналогично во втором случае: 
делится на 3 с остатком 
делится на 3 с остатком 1. Таким образом, если целое число не делится нацело на 3, то его квадрат (любая чётная степень) при делении на 3 дают остаток 1. Но тогда сумма трёх таких чётных степеней кратна 3.
Пример №26.
Доказать, что если 
— простые числа, то 
— тоже простое число.
Доказательство. Если 
, то остаток от деления 
на 3 равен 1. Но тогда 
делилось бы на 3, что противоречит условию. Следовательно, 
, тогда действительно 
— простое число, и при этом 
тоже является простым.
Пример №27.
Решить уравнение в целых числах
Решение:
Перепишем уравнение в виде: 
. Заметим, что правая часть уравнения при любом целом Y делится нацело на 7. Выясним, какие остатки при делении на 7 даёт левая часть данного уравнения. Для этого разобьём множество всех целых X на 7 групп в зависимости от остатка при делении на 7: 
где 
, и рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Если 
2) если 
3) если 
4) если 
5) если 
6) если 
7) если 
Итак, правая часть уравнения делится на 7 нацело (т.е. с остатком 0), а левая часть при этом — с остатками 2, 3, 4, 6. Однако равные числа при делении на одно и то же целое число 7 должны давать одинаковые остатки. Полученное противоречие говорит о том, что данное уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример №28.
Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению
и доказать, что для каждой такой пары сумма 
является нечётным числом.
Решение:
Заметим, что левая часть уравнения кратна 3, следовательно, и правая часть должна делиться на 3 нацело. Разобьём множество всех целых y на три группы в зависимости от остатка при делении на 3:
1) Если 
, то уравнение примет вид 
. Это равенство невозможно, так как его левая часть кратна 3, а правая — нет.
2) Если 
, то получим аналогичную ситуацию.
3) Наконец, если 
, то, подставляя в уравнение, получим
Следовательно, общий вид решений:
Осталось показать, что 
— нечётно. В самом деле, если 
чётно, то 
— чётно и, значит, 
— нечётно. Если, наоборот, 
— нечётно, то также нечётно, а значит, 
— чётно. Таким образом, числа и , а значит и их кубы, имеют всегда разную чётность, поэтому их сумма есть нечётное число.
Ответ: 
Пример №29.
Решить в целых числах уравнение
Решение:
Так как произвольное целое число представимо в виде 
, 
или 
где 
, а
то любое число в кубе или делится нацело на 9, или даёт при делении на 9 в остатке 1 или 8. Аналогично, так как 
даёт при делении на 9 остаток 0 или 3. Итак, правая часть уравнения может делиться на 9 с остатками 2 или 5, а левая — 0, 1 или 8. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
