Контрольная работа Д6.
Механическая система (рис. ДЗ, а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и
и радиусом инерции относительно оси вращения
, блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен
). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру
блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости
; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходят в движение из состояния покоя под действием силы , зависящей от перемещения
точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент
сил сопротивления.
Дано:



Определить: в тот момент времени, когда
.
Решение.
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие не систему внешние силы: активные

реакции

натяжение нити , силы трения
и момент
.
Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

Определяем и
. Так как в начальный момент система находилась в покос, то
. Величина
равна сумме энергий всех тел системы:

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 — поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что

где — любая точка обода радиуса
шкива 3 и что точка
— мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим
. Тогда

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно

Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь . Введя обозначения:
— перемещение груза
— угол поворота шкива
— начальное и конечное удлинения пружины, получим

Работы остальных сил равны нулю, так как точки и
, где приложены силы
и
— мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы
и
— неподвижны; а реакция
перпендикулярна перемещению груза.
По условиям задачи, . Тогда
, где
— перемещение точки
(конца пружины). Величина
и
надо выразить через заданное перемещение
; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда так как
(равенство
уже отмечалось), то и
.
Далее, из рис. Д3,б видно, что , а так как точка
является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку
), то
; следовательно, и
. При найденных значениях
и
для суммы вычисленных работ получим

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что , придем к равенству

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .
Ответ: .