Матрицы в квантовой физике

Матрицы в квантовой физике

• Матрицы. Для удобства рассматриваемая система Дискретный энергетический спектр (все приобретенное Далее отношения обобщаются напрямую Для непрерывного спектра). Разложить Φ = а и ηΦη Произвольные волновые функции изменяются относительно волновых функций Хорошо ФП в устойчивом состоянии.

Если вы замените это разложение В определении среднего значения для определенного количества / (3.8) Мы получаем / = Y ^ Y ^ anamfnm (t)? (11.1) н т Где fnm (t) обозначает интеграл fnm (t) = jK f ^ m dq. (11.2) Набор величин со всеми возможными n, m именами fnm (t) Является ли матрица из /, каждый из / pn (Ј) Матричные элементы, соответствующие переходам из Состояние n нм 2).

Построить независимую от времени матрицу Людмила Фирмаль

Зависимость матричного элемента / psh (Ј) от времени принятия решения (Если оператор / явно не включает t) делится на зависимости Фп функция времени. Если заменить их формулой (10.1), fnm (t) = f nmeibJnmt, (11,3) где Эп Эт \ Unm = —- —— (11.4) Частота переходов между состояниями n и w, количество / n t = J ‘FPT’FT dq (11,5) / Обычно 1 следует использовать.

Матричный элемент дифференцирования / получается путем дифференцирования Цитировать матричные элементы / со временем. Это Прямо из того, что / = 7 = ‘^ 2’ ^ 2 a n a m f n m {t). (1 1. 6) н т С точки зрения (11.3), следовательно, матричный элемент / / n t y = ^ nmfnm {t) (11,7) Или (уменьшите временной коэффициент exp (iunmt) с обеих сторон) Для не зависящих от времени матричных элементов: (F) nm = i ^ nmfnm ~ — ^ m) fnm- (11,8) Ни то, ни другое не упрощено для обозначения выражений.

• Все отношения не зависящих от времени матриц Элементы, точно такие же отношения Матрица, зависящая от времени. Комплексное сопряжение матричных элементов Получает определение термина / *, сопряженный оператор (Пш = = J Jп + + + тd dq = Г ?? Это (/ *) «= (/ Woof) * ‘(I.9)

О фактических физических величинах, которые мы обычно делаем Пожалуйста, подумайте об этом фнм = фмн (С-10) (Fmn заменяет (fmn) *) ‘соответствующую матрицу Эти операторы называются эрмитовыми. Элемент матрицы с n = m называется диагональю. эти Элемент не зависит от времени и ясно из (11.10). Это вещества. Элемент фнн средний Значение / в состоянии php. Получить правила умножения матриц легко.

Запишите этот результат с учетом этой формулы Это влияет на произведение произведения φ двух операторов Людмила Фирмаль

Для этого Обратите внимание на формулу в первую очередь M r ^ / rnnVW (11-11) T Это просто расширение функции Ft с коэффициентами, определенными в соответствии с общими Правило (3.5). : ФФп = = ё ‘фп)) = f Y, g k n ^ = Её bЛ = J 2 S k n M m.

чтобы к, т С другой стороны, ΦΦΦη = / (/ ^) w n ^ m, T Тогда мы приходим к результату, что матричные элементы генерируются Ссылка fg определяется выражением ifg) mp-E fmkgkn- (11-12) к Это правило согласуется с математическими правилами Умножение матриц: первый ряд матричного произведения ne Умножьте на второй столбец.

Определение матрицы эквивалентно определению самого оператора. В частности, в принципе, вы можете решить самостоятельно Данная физическая величина и ее соответствующее значение Уникальная функция.

Рассмотрим некоторые все количественные значения Развернуть любую волну в определенный момент Уникальная новая функция Φ (на данный момент) Для гамильтоновой функции, т.е. стационарной не зависящей от времени волновой функции ft: Ф = ‘^ 2 stFt, (11.13)

Здесь коэффициент расширения обозначен как sg. подмена Это расширение выражения / Ф = / Ф Значение и собственная функция. У нас есть V ^ Cm (f ^) = / V ^ C Умножим это уравнение с обеих сторон на φ * и проинтегрируем по дк. Каждый интеграл fΦη <Φdq слева есть соответствующий матричный элемент fnm.

Справа С другой стороны, все интегралы fΦΦтdq с m≥n исчезают Ортогональность функции φm, aΦ ^ Lφndq = 1, в зависимости от их нормы 1): Y ^ fnm ^ m = f см (11,14) T или Y ^ (fnm f $ nm) ct = 0, T где _ G 0, pft, ° np ~ \ 1, n = m. Итак, я получил алгебраическую систему Собственное уравнение первого порядка (включая неизвестное число).

Как из Ну, есть ненулевые решения для таких систем Только если определитель исчезает, Из коэффициентов уравнения, т.е. при условии \ fnm-fSnm \ = 0. (11.15) Корень этого уравнения (где / есть Представляет известные) и возможные значения Us. Полное значение ss, удовлетворяющее уравнению Колодцы (11.14) с / равные любому из этих значений Соответствующая уникальная функция.

Определение матричного элемента количества (11,5) / Взять столько же собственных функций Из уравнения f ^ jjn = fn ^ n, fnm = j 1 KT’ft dq = fm JФ * пФтдк. Учитывая ортогональность и нормализацию функции ft, Для ηfm и fmm = fm, fnm = 0, поэтому только диагональные матричные элементы отличны от нуля, каждый из которых равен своему элементу Говорят, что значение /; матрицы с ненулевыми только этими элементами сводится к диагональной форме.

В частности, обычным выражением является стационарная волновая функция как функция. Диагональная матрица энергии (и все остальные матрицы) Физическая величина с определенным значением в устойчивом состоянии).

В общем, для матрицы размера f Те, которые определены с использованием некоторых собственных функций оператора g Диагонально. Всякий раз, когда это конкретно показано, матрица физических величин означает, что диагональная энергия означает матрицу нормального выражения.

Все упомянутое выше о временной зависимости матрицы, конечно, применимо только к этому нормальному представлению1). С помощью матричного представления операторов вы можете: Докажите теорему, изложенную в § 4: если два оператора коммутативны друг с другом, они имеют общую полную систему собственных функций.

Пусть / и g два таких оператора. Из fg = g f и правил умножения матриц (11.12) В сопровождении ^ 2fmkgkn = Y ^^ ytk / kp- Для ~ Вычисляя матричные элементы и собственные функции оператора / как системы функций ^ n, f m ^ = 0 получается для mΦk, поэтому записанное уравнение представляет собой уравнение fmmgmn = gmnfnn или гмн (от фм до фн) = O *

Если все собственные значения fn величины / различны, gmn = 0, потому что fm-fn 0 0 получается для всех mΦn. Следовательно, матрица gmn также диагональна. Другими словами, функция i / jn также является собственной функцией физической величины g.

Если среди значений / n имеется одно и то же значение (то есть имеются собственные значения, соответствующие нескольким различным собственным функциям), матричный элемент gmn, соответствующий каждой группе φn функции, обычно равен нулю.

Нет Однако линейная комбинация функции φη, соответствующей одному собственному значению /, также является собственной функцией. Эти комбинации всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы исключить соответствующий недиагональный матричный элемент gmn.

Следовательно, в этом случае функциональная система, являющаяся собственной функцией операторов f и g, может быть получена одновременно. Обратите внимание на формулы, которые полезны в приложении Где Λ — параметр, от которого зависит гамильтониан en H (и собственное значение энергии En).

Фактически, дифференцируя формулу (H-En) φη = 0 на Λ и умножая ее на //; При интегрировании с dq левая часть этого уравнения исчезает. Оператор H является эрмитовой матрицей, поэтому правая часть дает искомое уравнение. В современной литературе система Значение с матричным элементом f nm, записанным как 1 (введено Дираком)

Этот символ построен таким образом, что его можно рассматривать как «конфигурацию» количественного обозначения. Символы | m) и | n) задают начальное и конечное состояния (независимо от представления, в котором используется волновая функция состояния), соответственно.

Используйте Тот же символ «указать» спецификацию коэффициента Разложение волновой функции: идеальный случай Бор волновой функции, соответствующей состоянию | ni), | n2),. Далее коэффициент расширения волновой функции Состояние | m) отображается как (m \ m). (U \ m) = j ‘fq’F’nr dq (11,18)

Смотрите также:

• Решение задач по физике

Дифференцирование операторов по времени	Преобразование матриц в физике
Стационарные состояния в физике	Гейзенберговское представление операторов