Оглавление:
Матричный метод оценки устойчивости, не связанный с построением характеристического полинома
- Матричный метод оценки устойчивости. Это не имеет ничего общего с построением характеристического полинома Рассмотрим систему вида (6.2). Оказывается, устойчивость линейной системы определяется решением однородного уравнения dxfdt = A *. Необходимым и достаточным условием устойчивости является неравенство Rj>. <6, i-1,2, …. i. Где решение алгебраического уравнения | A- \ E \ = 0. Рассмотрим немного другой подход. Это позволяет легко оценить стабильность, просто увеличив мощность специальной матрицы. Линейное дробное преобразование широко известно в теории аналитических функций. Х = (р + 1) / (р-1). (6,14)
Это имеет свойство, заключающееся в том, что левая полуплоскость комплексной переменной K переносится внутрь единичной окружности с центром в начале плоскости комплексной переменной p, а мнимая ось, рассматриваемая как окружность с бесконечным радиусом, становится единичной окружностью. , Если комплексная переменная X движется вдоль мнимой оси, комплексная переменная p движется по окружности с единичным радиусом. Каждая точка на левой полуплоскости соответствует четко определенной точке, которая находится внутри единичного круга.
Наоборот, это соответствие равно 1: 1 p = -f-1) / (X-!). Людмила Фирмаль
Подставляя значение K в (6.14) в характеристическое уравнение (6.6), A_! ±! E | = O. р — 1 я После некоторого преобразования | (-E-A) -p (E-A) | = 0. (6,15) Умножьте уравнение (6.15) на (E — A) «1. | (-E-A) (E-A) «1-pE | = 0. (6.16) Матрица (-E — A) (E — A) «1 является конвертируемой (-E-A + E-E) (E-A) «1 = (E-A) -2E» 1 = = E-2 (E-A) «1. Характеристическое уравнение для новой переменной p имеет вид B-pE [= 0, где B = E-2 (E-A) «1. Если все собственные значения исходной матрицы коэффициента A системы (6.2) находятся в левой полуплоскости комплексной переменной X, то все собственные значения pt построенной матрицы B центрированы на плоскости, а начало координат комплексной переменной p Вы можете видеть, что он находится внутри круга единичного радиуса.
Если хотя бы один X находится в правой полуплоскости, внутри p / S> 1. Известно, что если собственные значения матрицы B равны p, p2, pn, собственные значения матрицы B * равны pt, p *, …, pkp>, то есть матрица B возводится в ту же степень , Уникальный номер также построен. Во-вторых, если все X, -Матрица A в системе (6.2) отрицательны, то мощность матрицы B уменьшит абсолютное значение собственного значения pf. Это потому, что все ps меньше, чем модуль по модулю вокруг источника М <1. Критерий формулируется следующим образом: чтобы система (6.2) была асимптотически устойчивой, для матрицы B = E-2 (E-A) «1 состояние B * — »- 0 как k —oo, (6,18) Где 0 — нулевая матрица
- Если матрица E — A не является сингулярной, то есть если определитель не вырожден до нуля, вы можете доказать, что критерий справедлив во всех случаях. Если | E — A | == 0, (E — A) -1 не существует. (6,17) Осуществимость необходимого и достаточного условия устойчивости может быть установлена тем, что элементы матрицы B * абсолютно редуцированы. Рекомендуется включить матрицу так, чтобы каждая последующая матрица была квадратом предыдущей матрицы, то есть в соответствии с законом т т-1 т-1 b * = b2 = b2. B2. Лог B & step затем находит матрицу B * с k-й степенью (128-я степень получается после 7 и 1024-я степень получается после 10-го массива матрицы B). В этом случае оперативная память машины использует только порядок, полученный из матрицы B каждый раз, поэтому нет необходимости всегда сохранять матрицу B.
Более экономичная оценка поведения порядка матрицы по норме и ее следу обсуждается ниже. Пример 6.1. Напишем автоматическую систему с дифференциальными уравнениями: dxjdt = –0,9 *! -f 3.1 * 2-0.2x, dx2 / dl = -0.4l-, -2.5 * 2 + 3, 2 * 3, dxa / dt = 1.1 *! -1,5 * 2-3, 1 * 3. Исходная матрица коэффициента А имеет вид 0,2-3,2 4,1 G — 0,9 3,1 -0,2] = -0,4 -2,5 3,2. L 1,1 -1,5-3,1J Определить матрицу E — A G1 0 01 G — 0,9 3,1—0,21 G 1,9-3,1-A = I 0 1 0 I-I -0,4-2,5 3,2 = 0,4 3,5 Lo около 1J л и -1,5 -3, iJ L-1,1 1,5 Найти обратную матрицу Г0,60896 0,41371 0,29319 * (Å-А) -1 = 0,05978 0,25471 0,19588 10,14151 0,01781 0,25090
Если абсолютное значение каждого элемента матрицы B * не превышает значения I / n, то есть неравенства, расчет может быть ограничен bl, k) | <1 / p. (6,19) Людмила Фирмаль
Матрица (E — A) «1, умноженная на 2 и вычитающая полученную матрицу из единичной матрицы, наконец, -0,21792 — 0,82742 — 0,58638 -0.11957 0.49057 -0.39177 -0,28302-0,03561 0,49820 Дж 1. B = E-2 (E-A) _1 = Условие (6.19) не выполнено. Степенная матрица B G 0,: «o, <L-o, < 0,31238-0,204712 0,159811 B2 = | 0,07828 0,35354-0,31726, 07506 0,19896 0,42811J г 0,06956-0,10453 0,183281 V * = 0,07594 0,04585-0,23548 [-0,04001 0,17088 0,10816 J Неравенства (6.19) выполняются на втором этапе Я б \ у \ <\ / п <1/3. Следовательно, условие устойчивости (6.18) выполнено. Данный пример показывает методологию, потому что удобнее и быстрее изучить устойчивость такой простой системы с помощью существующих методов.
При анализе сложных систем, описываемых дифференциальными уравнениями более высокого порядка, более целесообразно в некоторых случаях изучать непосредственно из исходной матрицы коэффициентов A, поскольку построение характеристических полиномов сопряжено со значительными вычислительными трудностями.
Смотрите также:
Примеры решения задач по теории автоматического управления
