Задача №46.
Материальная точка совершает плоское движение под действием некоторой силы 
, причем траектория точки оказывается эллипсом
а ее ускорение все время остается параллельным оси 
. В начальный момент точка находится на оси , а ее скорость равна 
. Определить силу» действующую на точку, в функции координат точки.
Решение:
Проекция ускорения точки на ось 
равна нулю, т. е. 
. Отсюда следует, что 
во все время движения. Но в начальный момент скорость направлена вдоль оси , и потому 
. Записав уравнение траектории в виде
и дифференцируя его по времени, будем иметь
откуда
Дифференцируя дважды уравнение траектории и подставляя значение 
, получим уравнение для определения ускорения 
откуда
Таким образом для действующей силы получим значение
Эта сила направлена к оси и обратно пропорциональна кубу расстояния от точки до оси .
Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:
Решение задач по теоретической механике
Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:
| Задача №44. Пусть ось направлена вертикально вверх. Будем предполагать, что на материальную точку действует только сила тяжести. Проекция силы тяжести на ось будет постоянна по величине и имеет отрицательное значение —. Поэтому движение материальной точки вдоль оси будет определяться дифференциальным уравнением. |
| Задача №45. Материальная точка массы притягивается неподвижным центром с силой , где — постоянный коэффициент пропорциональности, — расстояние точки от . В начальный момент расстояние , а скорость образует с направлением угол . Найти уравнения движения точки и ее траекторию, принимая прямую за ось . |
| Задача №47. С крепостной башни производят два выстрела, причем начальные скорости снарядов оказываются равными по величине и лежат в одной и той же вертикальной плоскости. Эти начальные скорости направлены под углами и к горизонту. Оба снаряда попадают в одну и ту же точку на поверхности Земли. Найти высоту башни, предполагая, что поверхность Земли вокруг башни горизонтальна и что сопротивление воздуха отсутствует. |
| Задача №48. Материальная точка описывает параболу под действием двух равных по величине сил, одна из которых направлена к фокусу параболы и обратно пропорциональна расстоянию точки от этого фокуса. Другая сила параллельна оси абсцисс и направлена в положительную сторону этой осн. Показать, что точка движется по параболе равномерно и определить величину скорости точки. |
