Материальная точка с массой m находится в равновесии внутри трехосного эллипсоида с полуосями

Задача №41.

Материальная точка с массой m находится в равновесии внутри трехосного эллипсоида с полуосями и . На точку действуют силы: сила тяжести, параллельная оси , и сила отталкивания от оси , пропорциональная расстоянию точки от этой оси. Найти положение равновесия точки.

Решение:

Уравнение связи запишем в виде

Из принципа Бернулли имеем условие равновесия

Применяя метод множителей Лагранжа, будем иметь

откуда приходим к следующим условиям равновесия

Присоединяя сюда уравнения связи, получим следующие решения:

Два последних решения существуют, если выполняется, соответственно, одно из условий равновесия.

Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:

Решение задач по теоретической механике

Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:

Задача №39. Исследовать условия равновесия материальной точки, находящейся под действием силы тяжести, на гладкой горизонтальной плоскости.

Задача №40. Исследовать условия равновесия тяжелой материальной точки, на которую наложены связи (здесь предполагается, что ось направлена вертикально вверх, а ось — горизонтальна).

Задача №42. Два одинаковых стержня и , весом и длины а каждый, могут свободно вращаться на шарнирах и . Они соединены шарнирами и с третьим стержнем, расположенным горизонтально и имеющим вес Q и длину а<>- Вся система находится в равновесии в вертикальной плоскости. Определить реакции шарниров А и С, если угол а известен (рис. 45).

Задача №43. Однородный стержень весом опирается верхним своим концом на негладкую вертикальную стенку (коэффициент трения равен ), а нижним — на гладкий горизонтальный стол и удерживается в равновесии в вертикальной плоскости при помощи привязанной к его нижнему концу и протянутой по столу веревки, которая затем перекинута через блок и несет на своем свободном конце груз весом . Найти, при каких значениях угла наклона стержня а возможно равновесие системы, а также определить реакции в точках и (рис. 46).