Математическое ожидание

Математическое ожидание

• Математические ожидания Вероятность P конечного вероятностного пространства (Q, st, P) определяется с использованием элементарной вероятности p (co). Математическое ожидание случайной величины | = | ( («) + £ h ((0) pn = m ^ + MP. Из свойства 2) легко получить свойство математически ожидаемой конечной аддитивности по индукции: M (h + … + U = Mgl + … + Schn. (8) 3) и постоянная M (s1) = * cS, Ms = s.

• Это свойство легко увидеть из определения M £. 4) Для l ^ zl, Ml. Для £ ^ 0 и = 0 P {5 = 0} = 1. Доказательство. Всего M (| -n) = £ (£ C0) — -i] (a))) p (o)) все члены неотрицательны, Таким образом, мы получаем M (6-месторасположение из свойства 2) и 3) М £ Мл-потоки. 5) Ожидаемое значение £ выражается следующим уравнением в соответствии с законом распределения случайной величины g.

Если u = 0, то для любого ωe Q I (co) p (co) = 0, p ( 0 до I (co) = 0. Людмила Фирмаль

M6 «] § * | P {B- * L. (9) (9) можно доказать, используя выражение £ как сумму (3) к Аддитивные свойства (8) и свойства 1) и 3): M | -gxiM / ^. j-gx.P {! = *,}, Сделайте g (x) числовой функцией. Вместо этого получите новую случайную переменную вместо x случайной величины m) = * £ (£) • Вы можете вычислить Ml * по определению или по закону.

Используя распределение г \ или выражение Ml = Me (l) = te (Xt) Pit- ,). (10) Доказано так же, как (9). В этом случае вам нужно использовать уравнение к Установка β (ξ) = ξη вытекает из (10): Mln = tx P P (l = xi). Ожидаемое значение называется моментом (или n-м моментом) случайной величины I (или ее законом распределения).

Абсолютный n-й момент называется M | £ P. Обозначим M | = a. Центральный момент n-го порядка называется М (—- а) 99 9, а абсолютный центральный момент n-го порядка — MI & -aG. Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины, D £ = M (£ -ф.

Квадратный корень из VD l от дисперсии называется стандартным отклонением (или стандартным отклонением). Дисперсия имеет следующие характеристики: 1) Di = m2-my. Доказательство. И D £ = М (£ -М £) 2 = Α = M (& 2-2M (I • Ml) + (Ml) 2) -M £ 2-2-M1-M1 + (M |) 2- 2) D £> 0 и D £ = 0, только если существует постоянная c, такая как P {I-c] = 1 Поскольку Dl = M (£ -Ml) 2 и ft-Ml) 2> 0, его можно получить из свойства математического ожидания 4).

• 3) и постоянная D (cl) = c2Dl D & + c) — = Dl. Это вытекает из определения математических ожиданий и свойств 3). Многие неравенства, известные при анализе сумм и интегралов, широко используются в теории вероятностей. Является постоянным, и эти неравенства используют понятие ожидания. Некоторые из этих неравенств показаны ниже. Неравенство Дженсена.

Если числовая функция g (x) является выпуклой, любая случайная величина c Mg (л)> г№) — (I) Доказательство. Если g (x) имеет производную g \ g «, то выпуклость g означает, что любая точка x g» (x)> 0. Таким образом, g (l)> g (a) + g ‘(a) (l-a). (12)

Если мы установим a = M £ в (12) и получим математическое ожидание с обеих сторон, мы получим (11). Людмила Фирмаль

В общем случае вместо (12) нам нужно использовать тот факт, что для выпуклой функции g (x) и любой точки a существует константа C для всех x. g (x)> g (a) + C (x-a). (13) Функция £ (). Определяется интервалом (c, rf). Где -oo ^ c -«? («) inf x, a Xr-a Это эквивалентно утверждению (13). Ляпуновское неравенство. Положительный а <р (Мцый ххсм ^) 1 *. (16)

Чтобы доказать это, нам нужно применить неравенство Йенсена (11) к выпуклой функции = и случайной величине \% . С неравенством Коша — Буняковский. Любые две случайные величины t] | ME4l 2 + + 2jc // M £ tj + y2Mr] 2 является неотрицательно определенным значением и поэтому его дискриминант неположителен: (M £ m)) 2 — «- ME2-Mn2 <0.

Статистическая интерпретация математических ожиданий. Предположим, что лотерея имеет один выигрыш и ее размер является случайным и равен X \, или * 2, …, или xk. Если лотерея провокационная Кроме того, выигрыш xtt N = # 1 + ^ 2 + … + LF происходит Ni раз, Ni / N — относительная частота выигрыша xi, k x- ^ r Y * Xi’Ni — средняя прибыль за лотерею.

Если £ — случайная величина, равная размеру выигрыша в лотерее, то из статистической устойчивости два Затем следует частота- »P {| = * /}. Следовательно, средний коэффициент усиления x колеблется около M £: k ~ * = -k £ x’N <~ E x’p = * i) = / -1 1-1 Механическая интерпретация MJ и DJ. Визуально интерпретировать закон распределения как договоренность На линии точки x, 0} = » TSL | »и применимо (18). PMi) — (iР (ЛИ,) = (1-4У И вообще p (W— = -! /) *> Тогда из (18) А-1 NLI N P {x0 = 0} = 1-P {, x0> 0> = £ cb (-1) * (1 АО).

Смотрите также:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Независимые испытания	Многомерные законы распределения
Случайные величины. Индикаторы	Независимость случайных величин