Математическая теория принятия управленческих решений

Оглавление:

Математика как наука с самого начала своего существования была инструментом поиска истины, поэтому все математические операции, даже самые простые, можно считать математическими методами принятия решений. В настоящее время под принятием решений понимается особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего образа действий (альтернативы). Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Например, при создании новой техники (машин, приборов, приспособлений), в строительной отрасли при проектировании новых зданий, при организации функционирования и развития социальных процессов. В связи с этим существует необходимость в поддержке принятия решений, которая упрощает этот процесс и придает решениям большую определенность. Помимо эмпирического понимания ситуации и интуиции, лица, принимающие решения в современных сложных экономических ситуациях и управленческих процессах, нуждаются в некотором основании и «доказательстве надежности» своих решений. Неизбежно требуется формализация процесса принятия решений. Как правило, важные решения принимаются опытными людьми, весьма далекими от математики и особенно от ее новых методов, и опасающимися, что они больше потеряют, чем приобретут, формализуя ее.

Следовательно, наука призвана подсказать, как лучше принимать решения. Прошли те времена, когда хорошие решения принимались «наощупь», методом проб и ошибок. Сегодня такие решения требуют научного подхода — слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют предприятию обеспечить наиболее выгодные условия осуществления производства (максимальная прибыль при минимальных затратах труда, материальных и трудовых ресурсов).

В настоящее время поиск оптимальных решений можно рассматривать, используя разделы классической математики. Например, в разделе математической статистики «принятие решений» рассматриваются возможности принятия или непринятия основной гипотезы при наличии конкурирующей гипотезы в терминах функции потерь. Теория принятия решений развивает методы математической статистики — процедуры проверки гипотез. Различные значения потерь при выборе различных гипотез приводят к различным результатам, чем и пользуются статистические методы проверки гипотез. Выбор менее вероятной гипотезы может быть предпочтительным, если потери от неправильного выбора меньше, чем потери от неправильного выбора более вероятной конкурирующей гипотезы. Такие проблемы называются статистическими проблемами принятия решений. Для решения этих задач необходимо найти минимальное значение функции риска на множестве возможных исходов, т.е. решить задачу нахождения условного экстремума. Как правило, для этих задач можно определить цель и условия, т.е. ограничения, при которых они должны решаться. Такие проблемы рассматриваются в подполе математики «математическое программирование», которое, в свою очередь, является подполем «исследования операций».

В роли входных данных выступает реальная задача — произвольно сформулированный набор данных о проблемной ситуации. Первым шагом в решении проблемы является ее формулировка, т.е. приведение данных в форму, пригодную для создания модели. Модель — это приблизительное (описательное) представление реальности. Кроме того, модель используется для поиска оптимальных решений и выработки рекомендаций.

Модели можно разделить на 2 основные группы:

Детерминистические модели:

линейное программирование;
Целочисленное программирование и комбинаторика;
Теория графов;
потоки в сетях;
Геометрическое программирование;
нелинейное программирование;
математическое программирование;
оптимальное управление.

Стохастические модели:

Теория массового обслуживания;
Теория полезности;
Теория принятия решений;
Теория игр и игровое моделирование;
Теория зависимости;
Имитационное моделирование;
динамическое моделирование.

При принятии решений необходимо найти оптимум заданного функционала в детерминированной или стохастической форме. Следует отметить две особенности. Во-первых, математические методы принятия решений для задач, относящихся к различным областям человеческой деятельности, начинают сливаться, например, оптимизационные задачи управления при переходе от непрерывных к дискретным переменным становятся задачами математического (линейного) программирования, оценка функции разбиения:

в статистических методах принятия решений может осуществляться с помощью методов линейного или квадратичного программирования и т.д.. Во-вторых, необработанные числовые данные в результате измерений или наблюдений.
в задачах принятия решений для реальных ситуаций не являются детерминированными, а чаще всего являются случайными величинами
с известными или неизвестными законами распределения, так что последующая обработка данных требует применения методов математической статистики, теории нечетких множеств или теории возможностей.

Математические методы в экономике и принятии решений можно разделить на несколько групп:

методы оптимизации.
методы, учитывающие неопределенность, особенно вероятностно-статистические.
методы построения и анализа имитационных моделей,
методы анализа конфликтных ситуаций (теория игр).

Методы оптимизации

Оптимизация в математике — это процесс нахождения экстремума (минимума или максимума) объективной функции в области векторного пространства, ограниченной набором линейных или нелинейных уравнений (неравенств).

Теория и методы решения задачи оптимизации изучаются с помощью математического программирования.

Математическое программирование — это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование имеет дело с математическими методами решения задач, нахождения наилучших вариантов среди всех возможных вариантов.

Проблема оптимизации.

В процессе проектирования проблема обычно заключается в том, чтобы определить наилучшую структуру или значения параметров объектов каким-либо образом. Эта проблема называется проблемой оптимизации. Когда оптимизация относится к вычислению оптимальных значений параметров для заданной структуры объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры — это структурная оптимизация.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется следующим образом. Найдите среди элементов ч, образующих множество Ч, такой элемент ч*, который дает минимальное значение f(ч*) заданной функции f(ч). Чтобы правильно поставить задачу оптимизации, необходимо сформулировать:

допустимое количество — это количество
объективная функция — это отображение;
критерий поиска (максимальный или минимальный).

Тогда решение проблемы означает одно из:

показать, что .
показать, что объективная функция не ограничена снизу.
Найти.

Если есть, найдите его.

Когда минимизируемая функция не является выпуклой, мы часто ограничиваемся поиском локальных минимумов и максимумов: точек, в окрестности которых есть минимум и максимум.

Если допустимые множества равны, то эта задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации.

Общая нотация задач оптимизации определяет широкое разнообразие их классов. Выбор метода (эффективность его решения) зависит от класса проблемы. Классификация задач определяется: целевой функцией и допустимой областью (определяется системой неравенств и уравнений или более сложным алгоритмом).

Методы оптимизации классифицируются в зависимости от целей оптимизации.

Местные методы: сходятся к локальному экстремуму функции цели. В случае унимодальной объективной функции этот экстремум является сингулярным и будет глобальным максимумом/минимумом.

Глобальные методы: работать с многоэкстремальными объективными функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций в глобальном поведении функции цели.

Существующие методы поиска можно разделить на три большие группы:

детерминированный;
случайный (стохастический);
комбинированный.

В соответствии с критерием размерности допустимого множества, методы оптимизации делятся на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

В зависимости от вида целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы.

Оптимизационные задачи, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями, решаются так называемыми методами линейного программирования.

В противном случае они имеют дело с проблемой нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. Из них, в свою очередь, выделяются две специальные проблемы:

если и — выпуклые функции, то такая задача называется задачей выпуклого программирования;
если , то мы имеем дело с проблемой целочисленного (дискретного) программирования.

В зависимости от требований к гладкости и наличия частных производных объективной функции их также можно разделить на:

прямые методы, требующие только вычисления объективной функции в точках аппроксимации;
Методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;
Методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, т.е. гессианов объективной функции.

Кроме того, методы оптимизации делятся на следующие группы:

аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна);
численные методы;
графические методы.

В зависимости от характера множества X, задачи математического программирования классифицируются как:

Задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) — когда X конечен или счетен;
Проблемы целочисленного программирования — когда X является подмножеством множества целых чисел;
задача нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции, а X является подмножеством конечно-мерного векторного пространства.

Если все ограничения и целевая функция содержат только линейные функции, то это задача линейного программирования.

Кроме того, существуют подполя математического программирования: параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование.

Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Однако прежде чем получить математическую модель, необходимо выполнить 4 этапа моделирования.

Определение границ системы оптимизации.

Отбросим те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а точнее, те, без которых решение упрощается.

Выбор контролируемых переменных.

«Замораживание» значений некоторых переменных (неконтролируемые переменные). Другие могут принимать любое значение из диапазона допустимых решений (управляемые переменные).

Определите ограничения для контролируемых переменных (равенства и/или неравенства).

Выбор численного критерия оптимизации (например, показателя эффективности)

Вероятностно-статистические методы

Сущность вероятностно-статистических методов принятия решений.

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются в принятии решений?

Основой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные взаимосвязи выражены в терминах теории вероятности. Вероятности в основном используются для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Это относится как к нежелательным возможностям (рискам), так и к привлекательным («счастливый случай»). Иногда случайность намеренно вносится в ситуацию, например, при проведении жеребьевки, случайном отборе единиц для проверки, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет вычислять и другие вероятности, представляющие интерес для исследователя. Например, с помощью вероятности выпадения гербов можно рассчитать вероятность того, что в 10 бросках монеты выпадет не менее 3 гербов. Этот расчет основан на вероятностной модели, согласно которой жеребьевка описывается схемой независимых испытаний, причем герб и решетка равновероятны, и поэтому вероятность каждого из этих событий равна Ѕ. Более сложная модель — это модель, в которой вместо броска монеты рассматривается модульный тест. Соответствующая вероятностная модель основана на предположении, что контроль качества различных подразделений описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели бросания монеты, необходимо ввести новый параметр — вероятность P того, что единица бракованная. Модель полностью описывается предположением, что все единицы имеют одинаковую вероятность быть бракованными. Если последнее предположение ложно, то количество параметров модели увеличивается. Например, можно предположить, что каждая единица продукции имеет разную вероятность быть бракованной.

Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью ошибки P. Чтобы «попасть в число» при анализе модели, необходимо заменить P конкретной величиной. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным в ходе контроля качества. Математическая статистика решает противоположную задачу в терминах вероятности. Цель — сделать выводы из результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, экспериментов) с учетом вероятностей, лежащих в основе вероятностной модели. Например, из частоты появления бракованной продукции при испытаниях можно сделать вывод о вероятности брака (см. теорему Бернулли выше). На основе неравенства Чебышева были сделаны выводы о том, соответствует ли частота появления бракованных изделий гипотезе о том, что вероятность брака принимает определенное значение.

Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных набора понятий — те, что относятся к теории (вероятностная модель), и те, что относятся к практике (выборка наблюдений). Например, теоретическая вероятность соответствует частоте, найденной по выборке. Математическое ожидаемое значение (теоретическая серия) соответствует среднему арифметическому значению выборки (практическая серия). Как правило, характеристики выборки являются оценками теоретических характеристик. Величины, относящиеся к теоретическим рядам, находятся «в головах исследователей», принадлежат миру идей (по словам древнегреческого философа Платона) и недоступны для прямого измерения. У исследователей есть только выборочные данные, с помощью которых они пытаются определить свойства интересующей их теоретической вероятностной модели.

Так зачем нам нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с его помощью можно перенести свойства, установленные при анализе конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, население всех жителей России или население всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов — экстраполировать данные, полученные на выборке в сотни или тысячи человек, на генеральную совокупность в несколько миллионов человек. При контроле качества партия продукции служит в качестве популяции.

Для того чтобы экстраполировать результаты выборки на более широкую популяцию, необходимо сделать некоторые предположения о взаимосвязи между характеристиками выборки и характеристиками более широкой популяции. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать данные выборки и без использования конкретной вероятностной модели. Например, можно рассчитать среднее арифметическое по выборке, определить частоту определенных условий и т.д. Однако результаты расчетов относятся только к конкретной выборке, и применять полученные с их помощью выводы к другой совокупности некорректно. Такие действия иногда называют «анализом данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами, анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Таким образом, использование вероятностных моделей, основанных на оценке и проверке гипотез с использованием характеристик выборки, составляет суть вероятностных статистических методов принятия решений.

Подчеркнем, что логика использования характеристик выборки для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных наборов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а другой — выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, большинство из которых устарели или написаны в директивном духе, не проводится различия между выборкой и теоретическими характеристиками, что приводит к путанице и ошибкам среди читателей при практическом применении статистических методов.

Применение конкретного вероятностного статистического метода состоит из трех этапов:

переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процесса принятия решений, особенно на основе результатов статистического контроля и т.д.
выполнять расчеты и делать выводы чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели.

Интерпретация математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости корректировки технологического процесса), в частности вывода (о доле дефектных изделий в партии, об определенном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и т.п.).

В математической статистике применяются концепции, методы и результаты теории вероятностей. Далее мы рассмотрим основные проблемы построения вероятностных моделей в различных случаях. Подчеркнем, что для активного и правильного использования нормативно-технических и дидактико-методических документов по вероятностно-статистическим методам необходимы предварительные знания. Таким образом, необходимо знать, в каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные необходимы для его выбора и применения, какие решения следует принимать по результатам обработки данных и так далее.

Рассмотрим некоторые примеры, в которых вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения проблем.

В романе Алексея Толстого «Хождение по мукам» (том 1) говорится: «Мастерская дает двадцать три процента брака, вы придерживайтесь этой цифры», — сказал Струков Ивану Ильичу. Какое значение имеют эти слова в разговоре между руководителями завода? Производственная единица не может быть на 23 процента бракованной. Он может быть либо хорошим, либо дефектным. Струков, видимо, считал, что в большой партии продукции содержится около 23% бракованных единиц. Тогда возникает вопрос: что означает «приблизительно»? Предположим, что 30 из 100 проверенных единиц бракованные, или 300 из 1000, или 30 000 из 100 000…? Следует ли обвинять Струкова во лжи?

Монета, используемая для подбрасывания, должна быть «симметричной»: В среднем, половина бросков должна быть головой, а половина — решкой. Но что значит «в среднем»? Если мы попробуем много серий с 10 бросками в каждой серии, мы часто увидим серию, в которой монета подбрасывает голову 4 раза. На симметричной монете это происходит в 20,5% серий. А если на 100 000 подбрасываний приходится 40 000 орлов, можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решения основана на вероятности и математической статистике.

Этот пример может показаться несерьезным. Это не так. Чертеж широко используется при организации промышленных технических и экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияние среды консервации, методов подготовки подшипников перед измерением, влияние нагрузки на подшипник в процессе измерения и тому подобное). Например, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов их хранения в различных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие — в другое масло, чтобы избежать субъективности и обеспечить непредвзятое решение. Ответ можно определить с помощью жребия.

Аналогичный пример можно привести с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует ли проверяемая партия продукции установленным требованиям, отбирается ее представительная часть: Этот образец используется для оценки всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в проверяемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной. В условиях производства отбор единиц продукции обычно производится не по партиям, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью управляемых компьютером датчиков случайных чисел.

Аналогичные проблемы объективного сравнения возникают при сравнении различных схем организации производства, оплаты труда, тендеров и конкурсов, отбора кандидатов на вакансии. Везде необходима лотерея или аналогичные меры.

Предположим, что при организации турнира по олимпийской системе должны быть определены сильнейшая и вторая по силе команда (проигравший выбывает). Предположим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Очевидно, что чемпионом станет сильнейшая команда. Вторая по силе команда выйдет в финал только в том случае, если до финала у нее не будет игры против следующего чемпиона. Если таков план, то вторая по силе команда не пройдет квалификацию. Тот, кто назначает турнир, может либо выбить вторую по силе команду из турнира, уничтожив ее в первой встрече с лидером, либо обеспечить себе второе место, дав возможность встретиться с более слабыми командами до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводится жеребьевка. В турнире с 8 командами есть вероятность, что две лучшие команды встретятся в финале 4 раза из 7. Соответственно, с вероятностью 3 из 7, вторая по силе команда выбывает из турнира досрочно.

В любом измерении единиц (штангенциркули, микрометры, амперметры…) есть погрешности. Чтобы выяснить наличие систематических ошибок, необходимо многократно измерить единицы продукта, свойства которого известны (например, стандартный образец). Следует помнить, что помимо систематической ошибки существует также случайная ошибка.

Возникает вопрос, как определить систематическую погрешность измерений. Если единственное, что нужно учитывать, это то, является ли ошибка, полученная при следующем измерении, положительной или отрицательной, то эту проблему можно свести к уже рассмотренной. Сравним измерение с подбрасыванием монеты: положительная погрешность, если выпадает головка, отрицательная погрешность, если выпадает решка (нулевая погрешность при достаточном количестве масштабных деталей практически никогда не возникает). Тогда тест на отсутствие систематической ошибки эквивалентен тесту на симметричность монеты.

Это сводит проблему проверки систематических ошибок к проблеме проверки симметрии монеты. Аргументация приводит к так называемому «критерию знака» в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение сбоев технологических процессов и принятие мер для их наладки и предотвращения выпуска продукции, не отвечающей определенным требованиям. Эти меры направлены на снижение производственных затрат и потерь из-за поставки некачественного оборудования. При статистическом приемочном контроле планы контроля качества разрабатываются на основе математико-статистических методов путем анализа образцов из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностные статистические модели принятия решений. В математической статистике для этой цели были разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотеза о том, что доля бракованной продукции равна определенному числу , например, .

Теория игр

Теория игр — это математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Игра — это процесс, в котором каждая из участвующих сторон (две или более) борется за свои интересы. Каждая сторона имеет свои цели и применяет свою стратегию, которая, в свою очередь, может привести к выигрышу или проигрышу (исход зависит от других игроков). Теория игр дает возможность выбрать наилучшую стратегию, принимая во внимание представления других игроков, их способности и возможные действия.

Теория игр — это отрасль прикладной математики, точнее, исследования операций. Чаще всего методы теории игр применяются в экономике, реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. С 1970-х годов он был принят биологами для изучения поведения животных и эволюционной теории. Это очень важно для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно в связи с интересом к интеллектуальным агентам.

Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании были предложены уже в XVIII. Век предложил. Проблемы производства и ценообразования в условиях олигополии, которые впоследствии стали хрестоматийными примерами теории игр, были рассмотрены в XIX веке А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX века Э. Ласкер, Э. Цермело, Э. Борель выдвинули идею математической теории конфликта интересов.

Математическая теория игр берет свое начало в неоклассической экономике. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической работе Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономического поведения» в 1944 году.

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар опубликовала книгу о судьбе лауреата Нобелевской премии экономиста и теоретика игр Джона Нэша, на которой был основан фильм 2001 года «Игры разума». Некоторые американские телесериалы, такие как Friend or Foe, Alias или NUMBERS, иногда ссылаются на эту теорию в своих эпизодах.

Дж. Нэш написал диссертацию по теории игр в 1949 году, а 45 лет спустя получил Нобелевскую премию по экономике. После окончания Политехнического института Карнеги с двумя степенями — бакалавра и магистра — он поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. Дж. Нэш в своих трудах разработал принципы «Управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, в которых есть проигравшие и победители за их счет. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники либо выигрывают, либо проигрывают. Такие ситуации называются «равновесием Нэша», или «некооперативным равновесием», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, которая приводит к устойчивому равновесию. Игрокам выгодно поддерживать это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша внесли серьезный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход А. Смита к конкуренции по принципу «каждый сам за себя» является неоптимальным. Более оптимальными являются стратегии, в которых каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Хотя теория игр изначально имела дело с экономическими моделями, она оставалась формальной теорией в рамках математики вплоть до 1950-х годов. Но начиная с 1950-х годов начались попытки применить методы теории игр не только в экономике, но и в биологии, кибернетике, инженерии и антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после нее военные проявили серьезный интерес к теории игр, увидев в ней мощный инструмент для изучения процесса принятия стратегических решений.

В 1960-1970 годах интерес к теории игр угас, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х годов теория игр активно используется на практике, особенно в бизнесе и менеджменте. За последние 20-30 лет значение и интерес к теории игр значительно возросли, некоторые направления современной экономической теории не могут быть изложены без применения теории игр.

Важным вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т. Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактикой управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (психологическая дисциплина) и управления конфликтами в организации (теория менеджмента). Психология и другие науки используют слово «игра» в ином смысле, чем математика. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других, более ранних значениях. Культурологическая концепция игры была дана в работе Йохана Хейзинги «Homo Ludens» (статья по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике, о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Концепция игры содержится в концепции Эрика Бирна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это чисто психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Концепция игр Дж. Хёсинга отличается от трактовки игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г.П. Щедровицкого, основателя организационно-деятельностного подхода. Во время перестройки в СССР Г. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими руководителями. С точки зрения психологической интенсивности, ОДИ (организационно-деятельностные игры) были настолько мощными, что послужили мощным катализатором перемен в СССР. Сейчас в России существует целое движение ODI. Критики указывают на искусственную уникальность ODI. Основой ОДИ стал Московский методистский кружок (ММК).

В настоящее время быстро развивается математическая теория игр, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр достаточно сложен. Он применяется для решения аргументированных проблем: Политика, экономика монополий и распределение рыночной власти и т.д. Ряд известных ученых были удостоены Нобелевской премии по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в области теории игр, стал одним из ведущих экспертов в области «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Рейнхард Селтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Маскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шапли, Элвин Рот, Жан Тироль.

Характеристическая функция

В кооперативных играх с передаваемой полезностью, т.е. возможностью передачи денег от одного игрока другому, нельзя применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого для определения выигрыша каждой коалиции игроков используется так называемая характеристическая функция. Предполагается, что прибыль пустой коалиции равна нулю.

Основу этого подхода можно найти уже в книге фон Неймана и Моргенштерна. Они изучили нормальную форму для коалиционных игр и пришли к выводу, что если в игре с двумя сторонами формируется коалиция C, то ей будет противостоять коалиция N\C. Как будто формируется игра с двумя игроками. Но поскольку существует множество возможных коалиций (а именно, 2N, где N — число игроков), выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, которая зависит от состава коалиции. Формально, игра в такой форме (также называемая игрой TU) представлена парой (N, v), где N — множество всех игроков, а v: 2N > R — характеристическая функция.

Такая форма представления может быть применена ко всем играм, включая те, в которых нет передаваемой полезности. В настоящее время существуют способы преобразования любой игры из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратном направлении возможно не во всех случаях.

Приложения теории игр.

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения людей и животных в различных ситуациях. Изначально теория игр развивалась в рамках экономики и позволяла понять и объяснить поведение экономических субъектов в различных ситуациях. Позже теория игр была распространена на другие социальные науки; сегодня теория игр используется для объяснения человеческого поведения в политологии, социологии и психологии. Анализ теории игр был впервые использован Рональдом Фишером в 1930-х годах для описания поведения животных (хотя Чарльз Дарвин также использовал идеи теории игр без формального обоснования). Термин «теория игр» не встречается в работах Рональда Фишера. Тем не менее, работа по существу находится в русле теоретико-игрового анализа. Разработки в области экономики были применены Джоном Мейнардом Смитом в его книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для прогнозирования и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этического или эталонного поведения. Экономисты и философы использовали теорию игр, чтобы лучше понять хорошее (достойное) поведение. В целом, первые теоретико-игровые аргументы для объяснения хорошего поведения были выдвинуты Платоном.

Описание и моделирование.

Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что они могут предсказать поведение человеческих популяций в реальной конфронтационной ситуации, определив равновесие в соответствующих играх. Такой подход к теории игр недавно подвергся критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, часто нарушаются в реальности. Исследователи могут предположить, что игроки выбирают поведение, максимизирующее их общую полезность (экономическая модель человека), но на практике поведение людей часто не соответствует этому предположению. Этому явлению есть много объяснений — иррациональность, моделирование дебатов и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей утверждают, что их допущения аналогичны допущениям в физике. Поэтому, даже если ее предположения не всегда выполняются, теорию игр можно использовать как разумную идеальную модель по аналогии с подобными моделями в физике. Однако новая волна критики обрушилась на теорию игр, когда эксперименты показали, что на практике люди не придерживаются равновесных стратегий. Например, в играх «Сороконожка» и «Диктатор» участники часто не используют тот профиль стратегии, который представляет собой равновесие по Нэшу. О значимости таких экспериментов ведутся постоянные дебаты. Согласно другой точке зрения, равновесие Нэша не является предсказанием ожидаемого поведения; оно лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии Нэша, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. В поисках ответа на этот вопрос некоторые исследователи обратились к изучению эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или иррациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько естественным отбором биологических видов. Эта ветвь теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (определение наилучшего поведения).

С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент для предсказания поведения, а как инструмент для анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, которые являются наилучшим ответом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения кажется разумным. Однако такое использование теоретико-игровых моделей также подвергалось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, которая не является равновесной, если он ожидает, что другие игроки также не будут придерживаться равновесных стратегий. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного» дает еще один контрпример. В дилемме заключенного следование собственным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации, чем та, в которой они пожертвовали бы собственными интересами.

Виды игр.

Кооперативные и некооперативные.

Игра называется кооперативной или коалиционной, если игроки могут объединиться, взяв на себя определенные обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Это отличается от некооперативных игр, где каждый сам за себя. Развлекательные игры редко бывают кооперативными, но в повседневной жизни такие договоренности не редкость.

Часто предполагается, что кооперативные игры характеризуются именно способностью игроков общаться друг с другом. Это, как правило, неверно. Есть игры, где общение разрешено, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр некооперативные игры описывают ситуации очень подробно и дают более точные результаты. Кооперативные игры рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить эти два подхода принесли значительные результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как равновесные ситуации некооперативных игр.

Гибридные игры содержат элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут объединяться в группы, но игра ведется в некооперативном стиле. Это означает, что каждый игрок преследует интересы своей группы, но также пытается добиться личных преимуществ.

На странице курсовые работы по менеджменту вы найдете много готовых тем для курсовых по предмету «Менеджмент».

Здесь темы рефератов по менеджменту

Читайте дополнительные лекции: