Оглавление:
Логарифмические неравенства с переменными основаниями
Решение логарифмических неравенств с переменными основаниями основано на свойствах логарифмической функции (§ 24, п. 1). Рассмотрим неравенство
Если верно неравенство (1), то либо (рис. 24.1)
либо (рис. 24.2)
Обратно, из (2) и (3) следует (1), т. е. неравенство (1) равносильно совокупности неравенств (2) и (3). Отсюда следует, что неравенство
равносильно совокупности двух систем неравентсв
Примеры с решениями
Пример №296.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (7) — это неравенство вида (4), в котором Поэтому неравенство (7) равносильно совокупности систем вида (5) и (6), которые запишутся так:
Система (8) равносильна системе
откуда находим
Система (9) равносильна системе
откуда следует, что так как
Ответ.
Заметим, что из (2) следует, что и поэтому
Аналогично, из (3) следует (10). Обратно, если и выполняется условие (10), то либо справедливы неравенства (2), либо являются верными неравенства (3). Таким образом, неравенство (1) равносильно системе неравенств
Отсюда следует, что неравенство (4) равносильно системе неравенств
Пример №297.
Решить неравенство
Решение:
Система (11) для неравенства (12) равносильна каждой из следующих систем
откуда следует, что
Ответ.
Замечание. Метод сведения неравенства (4) к равносильной ему системе (11), использованный в примере 2, часто оказывается более эффективным, чем метод замены этого неравенства на равносильную ему совокупность неравенств (5), (6) (см. пример 1).
Обращаясь к неравенству
отметим, что неравенство является верным при и см. рис. 24.2), а также при и (см. рис. 24.1). Отсюда следует, что неравенство (13) равносильно совокупности двух систем неравенств
Как и для неравенства (4), совокупность систем (14) и (15) можно заменить следующей системой неравенств
которая равносильна неравенству (13).
Пример №298.
Решить неравенство
Решение:
Для неравенства (17) равносильная ему система (16) имеет вид
Система (18) равносильна следующей
Так как то множество решении системы (19) состоит из двух промежутков:
Ответ.
Рассмотрим неравенство
Это неравенство равносильно неравенству
при условии, что (если или то неравенство (20) теряет смысл).
Для получения системы неравенств, равносильной неравенству (20), нужно в системе (16) добавить условие и заменить на
В результате имеем систему неравенств
равносильную неравенству (20).
Замечание. Нестрогое неравенство
равносильно системе неравенств, которая получается из системы (21) заменой последнего ее неравенства на неравенство
с добавлением условия
Пример №299.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (22) равносильно неравенству:
Для этого неравенства равносильная ему система неравенств (21), с учетом замечания 2, имеет вид
Эта система равносильна системе я: < 3,
Так как уравнение имеет корни и выполняются неравенства то множество решений системы (23) — совокупность двух промежутков и
Ответ.
Пример №300.
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство равносильно неравенству
которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств :
Чтобы решить системы неравенств (24) и (25), построим графики функций и (рис. 24.7).
Эти графики пересекаются в точках и , абсциссы и которых являются корнями соответственно уравнений и откуда находим
1) Если то график функции лежит выше графика функции Поэтому система (24) не имеет решений.
2) Если то график функции лежит выше графика функции на интервалах и Поэтому множество решений системы (25) — объединение интервалов
Ответ.
Пример №301.
Решить неравенство
Решение:
Полагая и используя формулузапишем неравенство (26) в виде
откуда следует, что либо либо
1) Пусть т. е.
При неравенства (26) и (27) теряют смысл, а при неравенство (27) равносильно неравенству
Если , то неравенство (28) принимает вид откуда следует, что Таким образом, все положительные значения являются решениями неравенства (28) и исходного неравенства (26).
Если , то из (28) получаем откуда
Значит, решениями неравенства (28), а также неравенства (26) являются все значения из интервала
2) Пусть т. е.
Неравенство (29) равносильно неравенству
Если , то неравенство (30) примет вид
Неравенство (31) не имеет решений, так как при . Если , то неравенство (30) записывается в виде
Неравенство равносильно неравенству
а неравенство равносильно каждому из неравенств
Решив неравенство (34) при условии (33), получим
Ответ.
Пример №302.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (35) равносильно неравенству
а неравенство (36) равносильно совокупности следующих систем:
1) Рассмотрим систему (37). Первое неравенство этой системы можно записать в виде множество решений этого неравенства — интервал с выброшенной из него точкой
Так как то второе неравенство системы (37) равносильно каждому из неравенств
откуда Следовательно, множество решений системы (37) интервал
2) Обратимся к системе (38). Первое неравенство этой системы равносильно неравенству которому удовлетворяют все точки, лежащие вне отрезка
Второе неравенство системы (38) равносильно системе
откуда следует, что и
Значит, второму неравенству системы (38) удовлетворяют значения из интервала а системе (38) — точки из интервала
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: