Оглавление:
Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве. Общие замечания
- Общий комментарий. Рассмотрим любое n-мерное действительное число Оператор А, действующий из вещественных евклидовых пространств V и V В V Понятие линейного оператора в случае вещественного линейного оператора Пространство формулируется полностью аналогично соответствующему пространству Концепция сложного пространства.
- Определение 1. Оператор A называется линейным, когда: Любое действительное число а и / 3 всех элементов xEiuYeUi Равенство A (топор + /? Y) = aAx + /? Au E.111) По полной аналогии со сложным пространством, Собственные значения оператора и собственные векторы.
Важно отметить, что собственное значение является корнем Характеристическое уравнение оператора. Людмила Фирмаль
Обратное утверждение в реальном случае верно только в том случае, если Когда соответствующий корень характеристического уравнения является действительным Реальная вещь. Только в этом случае указанный маршрут будет его собственным Значение рассматриваемого линейного оператора. В связи с этим естественно выбрать линейный класс Действительный евклидов оператор пространства, все корни Характеристическое уравнение является действительным.
В доказанной выше теореме 5.16 все Собственное значение самосопряженного оператора является действительным числом. черный Кроме того, концепция самосопряженных операторов играет важную роль §В заключение этой главы о вторичной форме. Конечно же Однако поэтому понятие самосопряженных операторов переносится на случаи Реальное пространство. Сначала введем понятие оператора A * сопряженного.
То есть оператор А * считается сопровождающим А, если: Уравнение (Ax, y) = (x, A * y) выполняется для любых x и y в Y. Передача без проблем Теорема о существовании и единственности сопряженных операторов 5.12 Радиатор. Доказательство теоремы 5.12 1,5 линии формы. На самом деле, не 1,5 года Для линейной формы необходимо использовать билинейную форму B (x, y).
По этой причине во втором абзаце главы 4 5 делаются соответствующие заявления. В этом контексте напомним определение любой билинейной формы. Линейное пространство, которое не обязательно евклидово Свяжите свойство L. B с каждой упорядоченной функцией Вектор x∈L и пара y∈L (x, y) являются действительным числом B (x, y). Определение 2. Функция B (x, y) называется билинейной формой.
Для любого вектора x, y, z из L, шахта, переданная L Для действительного числа A соотношение выполняется. B (x + z, y) = B (x, y) + B (z, y), B (x, y + z) = B (x, y) + B (x, z), E.112) B (Ax, y) = B (x, Lu) = XB (x, y). Важной частью этого раздела является специальный Установите билинейную форму B (x, y), чтобы сформировать B (x, y) = (Ax, y), E.113) Где A — линейный оператор Соответствующая теорема ( 5.11) Подобные выражения в сесквилине.
В комплексных пространствах опирались на выводы леммы § 1§4 В этой главе рассматривается специальное представление линейной формы / (х). В конце этого раздела эта лемма Пространство. В доказательстве леммы Выбор элемента hk не соответствует E.41) По уравнению hk = f (e /,), где f (x) Реальное пространство. В §b этой главы была введена форма Эрмита. Elmi Формат tova представляет собой сложный B (x, y) сесквилинейный формат.
Пространство, характеризуемое соотношением B (x, y) = B (y, x) (Столбец на B означает, что комплексное сопряженное значение получено В случае Б). В реальном космосе эрмитоподобные аналоги Симметричная билинейная форма. Характер этой формы Определяется B (x, y) = B (y, x). E.114) Билинейная форма B (x, y) определена в линейном пространстве L, Для любого вектора x и y в L, называемого косимметричным Соотношение B (x, y) = -B (y, x) выполняется.
Очевидно, что Каждая билинейная форма функции Bi (x, y) = ^ [B (x, y) + B (y, x)], B2 (x, y) = 1 [B (x, y) -B (y, x)] Каждая симметричная и косо симметричная билиния Новая форма. B (x, y) = ?? (x, y) + B <± (x, y), поэтому Получите следующее утверждение. Любая билинейная форма может быть представлена как сумма Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Легко видеть, что такой взгляд — единственный.
Докажите следующую теорему для симметричной билинейности Форма (эта теорема служит аналогом теоремы Эрмита 5.25 Форма). Теорема 5.33. Чтобы получить билинейную форму B (x, y) Все возможные векторы x и y вещественного евклидова Пространство V ‘было симметричным, необходимым и достаточным. Линейный оператор A в выражении E.113 имеет вид Самосопряженные. Доказательство.
Если A является самосопряженным оператором, Используйте свойство скалярного произведения, чтобы получить B (x, y) = (Ax, y) = (x, Au) = (Au, x) = B (y, x) Следовательно, соотношение E.114) выполнено. То есть билинейный Форма B (x, y) = (Ax, y) симметрична. Если форма B (x, y) = (Ax, y) симметрична, Соотношение (Ax, y) = B (x, y) = B (y, x) = (Au, x). Следовательно, оператор A самосопряжен. Теорема доказана.
Вводит матричное понятие линейного оператора А. ei, ei, …, en-n мерная вещественная линейная произвольная база Место пробел L. Ae & = Yl7 = i Тогда, как в сложном случае, вы можете легко показать: Для компонентов x = Y ^ Jk = ixkek, вектор y = Ax, Установите y1 = ^ 2 ^ = i a \ xk. Матрица A = (agk) называется матрицей линейного оператора A. Фонд {e /,}. По аналогии с методом, использованным в § 2 этой главы, Можно доказать, что величина det A не зависит от выбора базиса.
- Следовательно, определитель det A оператора A введен правильно. Характеристическое уравнение, соответствующее оператору A Уравнение det (A-AI) = 0 называется и левый полином Часть этого уравнения называется характеристическим полиномом Оператор А Теперь докажем теорему в корне характеристики Самосопряженный операторный член в фактическом евклидовом про Вандер. Теорема 5.34.
Все корни характеристического многочлена являются самостоятельными Решение присоединенного линейного оператора A в евклидовом пространстве Это очень важно. Доказательство. A = a + if3 как корень характеристики уравнение дет (A-AI) = 0 E.115) Самосопряженный оператор А Измените некоторые стандартные {e ^} с помощью V, и покажите с помощью, JK Матричный элемент оператора A основан на этом (^ — Реальное число).
Найти ненулевое решение линейной системы я ?? Людмила Фирмаль
2? Неравенство •••? ? п: = 1,2, …, n, E.116) Где A = a + r / 3. Определителем системы E.116 является det (A-AI) ( Определитель матрицы линейного преобразования Этот определитель зависит от выбора основы и в соответствии с E.115) Вены до нуля) и система равномерных линейных уравнений E.116) Ненулевое решение? /. = Xk + hukk k = 1, 2, …, n.
Заменить это решение на правую и левую часть системы E.116), Разделение материалов с учетом A = a + r / 3 Мнимая часть и мнимая часть полученных отношений, набор которых (Xi, X2, •• .. xn) и B / i, 2/2, •• .., Yn) действительное число 27) Следующая система уравнений: E.117) ctjkyk = ayj + fixj, j = 1, 2, …, n Исходя из этого, рассмотрим ei, b2, …, en векторы x и y. nati xi, x2, …, zn и 2 / i, 2/2 соответственно •••, 2 / n. Тогда отношения E.117) можно переписать как Axe = ax- /? Y, Au = ay + /? X.
Умножим y на скаляр в начале полученного отношения и второй рой — на х. Очевидно, получить уравнение (Ax, y) = a (x, y) — /? (Y, Y), (X, ay) = a (x, y) + ^ (x, x). Поскольку оператор A является самосопряженным, (Ax, y) = (x, Au). по Получите уравнение, вычтя соотношение E.118 /? [(X, x) + (y, y)] = 0. Однако если (x, x) + (y, y) Φ0 ((x, x) + (y, y) = 0, если xk = 0 и yk = 0, k = 1, 2, …, n;
Итак, решение? & = Xk + ^ 2 / ^ будет нулевым Вы, конструктивно, это решение не ноль. Поэтому / 3 = 0, И поскольку / ^ — мнимая часть корня, A = a + if3 характерно E.115-го уравнения), следовательно, ясно, что А является действительным числом. теорема Проверенная. В случае самосопряженного оператора, как в комплексном случае Описание существования ортонормированных Процесс, состоящий из собственных векторов этого оператора ( Орем 5.21). Докажите это утверждение.
Теорема 5.35. Каждый самосопряженный линейный оператор pa A, действующий в n-мерном вещественном евклидовом пространстве В V есть орторнар Птицы. Доказательство. Пусть Λ — действительное собственное значение Операторы A и ei являются единичными собственными векторами, соответствующими Собственное значение (|| ei || = 1). 27) Помните, что не все эти числа равны нулю.
Показать пространство в подпространстве V \ (n-1) измерений V ортогонально к EI. Очевидно, V \ является неизменным подпрофи. Пространство V (т. Е. Ax∈Vi, если x∈Vi). день На самом деле, пусть x∈Vi. Тогда (x, ex = 0). Оператор А Ai является собственным значением A с самоассоциацией. (Axe, er) = = (X, Ax) = Ai (x, ex) = 0 Следовательно, V1 является неизменным подпрофи, потому что Ax∈Vi.
Пространство для оператора А. Таким образом, мы можем думать об операторе А. В подпространстве Vi Vi ясно, что оператор A является самосопряженным. Согласно теореме Нима 5.34 оператор А, действующий на Vi, имеет вид Собственное значение A2, которому соответствует собственное значение Вектор b2∈Vi оператора A, удовлетворяющий условию.
Кроме того, при переходе к (n-2) -мерному подпространству V2, Вектор ei и B2, и повторить Суждение и создание собственного вектора e оператора A Удовлетворяет вектору ei и B2 и условию || ez || = 1. Дальнейший вывод таким же образом приводит к п Взаимно ортогональные ортогональные собственные векторы ei, b2, …, e Pa A || e ^ || = 1, k = 1, 2 ,.
Очевидно, что Вектор {ek} составляет основу V. Теорема доказана. Замечания. ei, B2, …, en — ортонормированные базисы N-мерное евклидово пространство V, составленное из собственных значений Тор самосопряженного оператора A, т. Е. Ae & = A ^ e ^, а затем Matt Кроме того, матрица оператора A для базиса {e &} является диагональной, Формат диагонального элемента:
% = A / .. Если {e ^} является любым ортонормированным базисом, Для реального евклидова пространства V zis матрица является Симметрия оператора A, то есть A ‘= A. Противоположное утверждение, то есть некоторый нормализованный случай Поскольку матрица оператора {e &} симметрична, оператор A- Самосопряженные. Этот материал корпуса отличается от композитного.
В комплексном случае оператор A является самосопряженным, Матрица A этого ортонормированного оператора имеет вид База — это эрмитова матрица. То есть элемент а \ матрицы А является Они удовлетворяют условию a \ = a \ (черта означает комплексное сопряжение). Это утверждение (A ^) является матрицей A, то Фактический случай — (af), а в сложных случаях — (af). Легко проверяется прямым расчетом.
Смотрите также:
| Унитарные и нормальные операторы | Ортогональные операторы |
| Канонический вид линейных операторов | Метод простой итерации (метод Якоби) |
