Оглавление:
Линейные однородные ДУ n-го порядка
Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

1. Если функции являются частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и функция
.
2.Функции называются линейно независимыми на
, если равенство
выполняется лишь в случае, когда все числа
; в противном случае (если хотя бы одно из чисел
, не равно нулю) функции
— линейно зависимы.
3. Определитель Вронского имеет вид

4. Частные решения уравнения (49.18) образуют фундаментальную систему решений на
, если ни в одной тючке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е.
для всех
.
5. Общею решение ЛОДУ (49.18) имеет вид , где
— произвольные постоянные,
— частные решения уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.
Пример №49.6.
Показать, что функции образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).
Решение:
Найдем :

Ясно, что для всех
. Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:

Подставив функции в это уравнение, получим систему из грех уравнений относительно функций
. Решая ее, получим ЛОДУ
; его общее решение:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны: