Оглавление:
Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства
Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства. Определение 1. С X в качестве множества и всеми последовательностями этого элемента{xn\, xn = X в множестве, выберите определенный класс последовательностей, называемых сходимостью, и свяжите каждую сходящуюся последовательность с элементом x∈X, называемым ее пределом. Если одновременно выполняются 3 условия. 1) каждая последовательность элементов в наборе X может быть установлена на максимум 1 предел. * С. Л. Соболев (1908 г. р.) советский математик. Л. Шварц (; род. 1915) французский математик. 59.2.Линейное пространство со сходимостью Пятьсот семнадцать 2) {x, x, x, x,… Все последовательности в виде }сходятся, их пределом является элемент x.
Все подпоследовательности сходящейся последовательности также сходятся и имеют те же ограничения, что и вся последовательность. Людмила Фирмаль
- Множество X называется сходящимся пространством. Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами Фреше-К. если x-ограничение последовательности{xn}, то оно записывается как обычно: х \т. л. с. Я * с Определение 2.Линейное пространство X, когда оно является сходящимся пространством, называется линейным пространством со сходимостью, и операция сложения элементов пространства и умножения их на числа непрерывна. Он также сходится последовательность{xxn -\ -\ -} для последовательности сходимости{XN\и\yn) элементов из X с пределом Хигиг/ / х, соответственно ,и для любого числа X и P.、 Тю(ХХ» + ру»)= ХХ + ру. н ♦■с Кроме того, если{A, n} числовая последовательность, и если Hm Xn = X、 П + СО XX для НТ хп-ХХ. О, о, о, о! Примером линейного пространства со сходимостью является нормированное линейное пространство.
Однако есть вещи в линейном пространстве с конвергенцией, которые делают невозможным введение нормы, которая производит данную конвергенцию последовательности. Определение 3.Сопоставление реальных K в линейном пространстве X(или комплексных C) называется определенной функциональной в этом пространстве или функциональные пространства.Значение функциональной функции/в точке x в линейном пространстве X представлено выражением ( / , x).То есть скалярное произведение элемента[и скалярное произведение линейного пространства X и то же, что x. Это обозначение оправдано, в частности, тем, что скалярное произведение (y, x) фиксированного элемента y является функцией, определенной в указанном пространстве X. Определение 4. Пусть X-линейное пространство.
- Функция D, определенная в этом пространстве, называется линейной (точнее, линейно однородной), если любой элемент eX, 1 / eX и любое число X, p являются условиями (Д ХХ + р)= х(?(х, х)+ р (д г). * М. Фреше (1878-1973) французский математик. §59.Обобщенная функция Пятьсот восемнадцать Определение 5.Функционал}, определенный в линейном пространстве X с сходимостью, называется непрерывным, если Mn xn = x для последовательности сходимости xnX. l ►СО Хорошо. Золото (/,)=(/, х). «■СО Как и любая другая числовая функция, вы можете добавлять функции и умножать их друг на друга, в частности числа.Например, если/и # функциональны, то значение функциональной функции a / + p ^(где a и P числовые) в точке X e X определяется выражением («/+П&.*)=»(/ *)+ П(е, х).
Лемма 1.Линейный непрерывный функционал образует линейное пространство. Доказательство. /И G как линейная функционализация, и P как число. a / + p ^также является линейной функционализацией. (а / + П и БК + пр/) = а (/, с KX + ру)+ Р (%, ХХ + ру)= = А [А,(ф, х)+ п(ф.Г)]+?[(а,)+ {(к, г)] = = Ма(Ас), Ч-П(5Т, х)] + п [А (/, Г)+ Р (^,/)] = = А, (а / + п^, х)+ 1х(а} + г）、 То есть a / + P & является линейным функционалом. Здесь пусть [и^непрерывная функция.Это означало бы, что A + + Pk также является непрерывной функцией. Допустим, Mn xn-x. и тогда … / г * с Т (А / + Р&, хп)= т [а (/, ху)+ Р(&.* )] = (1+ 00 L ♦СО = ахм(ж, хп)+ ПМ(г,хп)= а(ф,х)+ П(2,*)=(а / + к, L). ►сотрудничество п— * со.
Таким образом, в множестве линейных непрерывных функционалов естественным образом определяются операции сложения и умножения чисел. Людмила Фирмаль
- Реализация линейных пространственных аксиом для этих операций проверяется без каких-либо проблем. В линейном пространстве линейного непрерывного функционала 0 пространства X понятие сходимости последовательности определяется как: Определение 6.Последовательность функционала n = 1 2 …Число(/,я). 59.2.Линейное пространство со сходимостью Пятьсот девятнадцать Таким образом, утверждение Pm / » = / эквивалентно: p ♦с Я жду. НХ (р, х)-(х) всех с xex、 н〜 * с При таком определении сходимости функционала операции их сложения и умножения чисел являются непрерывными (это вытекает непосредственно из свойств линейности функционала и ограниченности числовой последовательности).
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
