Оглавление:
Линейные пространства со скалярным произведением
Линейные пространства со скалярным произведением. Определение 34. Вещественная функция, определяемая множеством упорядоченных пар элементов в пространстве сплошной линии и представленная (x, y), x∈X, y∈X, называется скалярным умножением, если она удовлетворяет следующим условиям: 1°) (х, г)=(г, х), гекс.? ЭКС; 2°) (Ax + py r)= X (x, r)+ q (y, r), x ^ X, y ^ X, geX, A и p-действительные числа. 3°) (x, x) 5?0, Х ^ Х; 4°) (x, dm)= 0, x = 0 Из характеристик 2°, GEC равенство (х, 0)= 0. Фактически, (x, 0)=(x, 0, 0, 0)= 0(x, 0)= Определение 35.Вещественная функция (x, y), определяемая упорядоченным множеством пар элементов в твердом пространстве X, xeX, 1 / EX и удовлетворяющая условиям 1, 2 и 3, называется полускалярным умножением. Аналогично, если понятие полускалярного (особенно скалярного) умножения является сложным линейным пространством/?Она будет введена в future.
Скалярное (полускалярное) линейное пространство элемента, в котором определена операция умножения, называется линейным пространством скалярного (полускалярного) произведения. Людмила Фирмаль
- In в этом случае функция комплексного числа (x, y) называется полускалярным (скалярным, соответственно) умножением, если она удовлетворяет свойству 2°, свойству 3°и свойству любого комплексного числа. Г)= {г, х), гекс, yevX、 Здесь, как всегда, строка над числами указывает на сопряженное комплексное число. В дальнейшем линейное пространство означает фактическое линейное пространство, если не указано иное. результатом скалярного (половина-скалярного) умножения 2 элементы геχ и Г ЕК называется скаляр (половина-скалярный) продукт (х, г). $ 57.Функциональное пространство 448.
Лемма 9.Неравенство для любой пары векторов X и Y в линейном пространстве X полуфинала цвет продукта (x, y) 2 ^(x, x) (y, y), (57.26） Называется неравенством Коши-Шварца. Доказательство. Для любого вещественного в характеристика 3 полускалярного умножения выглядит следующим образом: (ХХ—г, то xxd-г)^ сек. 0. Применяют и приобретают характеристики полускалярного умножения на 1°и 2°. Ч(Х, Х)+ 2К (х, г)+(г, г)> 0 (l., Xr) если= 0, то 2H (x, y)+(y, y); =0.Поскольку это верно для любого реального I, то оно будет (x, y)= 0, и, следовательно, неравенство (57.26) будет истинным, и обе части исчезнут. Однако для (xi, x) Φ0 результирующий 3-членный квадратичный дискриминант H не является положительным. (x, y) 2-(x, x) (y, y) 0、 Это эквивалентно условию (55.26).
- Для пары векторов в линейном пространстве в результате полу-скалярное произведение, неравенство Y (x + y, x + y)^ y (x, x)+ Y (y, y), xeX, y = X действительно, при применении неравенств Коши и Шварца получаем: (Х + У, Х + У)=(Х, Х) -2(х, г)+(г, г） ^(х, х)+ 2 в(Х, Х)(г, г)+(г, г)= [в(Х, Х)+ г(г, г）\ * Упражнения 20.Доказать, что справедливо неравенство в комплексном линейном пространстве X с полу-скалярное произведение I (x, y)| 2″5 (x, x) {y, y), xeh, y(e x. Линейное пространство X с полу-скалярное произведение、 Ix1 = Г(Х, Х), текс (57.27） Функция 1 x] удовлетворяет характеристикам 1°-3°семинорума. Свойство семинольма 1°, свойство умножения полу-стороны 3°, свойство 2°от свойства 2°, свойство семинола 3°от результата леммы 9. Если умножение полуцвета является скалярным, то семинор (57.27) является norm.
Каждое линейное пространство со скалярным (каждое полушарие) произведением является нормализованным соответствующим полунормализованным пространством с нормой, определяемой формулой (57.27) (каждый семинольм). Людмила Фирмаль
- In дело в том, что СВОЙСТВО 4°нормы вытекает из свойства 4 скалярного умножения. Поэтому следующее утверждение доказано. 57.8.Пример линейного пространства в скалярном произведении 449 Лемма 10.Семинор (57.27) называется семинором (нормой, соответственно), который производится определенным полусферическим (скалярным) произведением. Расстояние (57.20), производимое нормой (57.27) линейного пространства со скалярным произведением, также называется расстоянием, производимым конкретным скалярным произведением. Используя семиноловую нотацию, можно переписать неравенство (57.26) в следующем формате: (х,\/) [1 * | / Ц / 1.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
