Оглавление:
Кривые линии второго порядка
Общее уравнение кривых второго порядка имеет вид: ,
где .
К кривым линиям второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Окружность
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки — центра окружности.
Утверждение. Окружность является кривой второго порядка и ее каноническое уравнение имеет вид:

где и
— координаты центра окружности;
— радиус окружности.
Доказательство. Рассмотрим окружность с заданными параметрами в системе координат на плоскости. Возьмем произвольную точку этой окружности .

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Возведем обе части уравнения в квадрат и получим
— уравнение окружности.
Задача №24.
Показать, что уравнение является окружностью. Найти ее центр и радиус.
Решение:
Заданное уравнение приведем к виду .
Сгруппируем члены, содержащие только и только
следующим образом:

Допишем теперь до квадрата разности и суммы:

Кривая является окружностью с центром (2; -1) и радиусом
.
Эллипс
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная .

Утверждение. Эллипс является кривой второго порядка, и каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где и
— полуоси эллипса.
Доказательство. Пусть и
— некоторые фиксированные точки плоскости, являющиеся фокусами эллипса и пусть точка
— произвольная точка данного эллипса. Расположим систему координат так, чтобы ось
проходила через точки
и
, а начало координат делило бы отрезок
пополам.
Предположим, что расстояние между фокусами равно , тогда
и пусть
. Из определения эллипса имеем
. Но по формуле расстояния между двумя точками

Получаем:


или

Если , то
Если , то
Число называется большой полуосью эллипса, число
— малой полуосью эллипса,
— фокусы. Между
,
и
существует соотношение
.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Ясно, что
. Если
, то форма эллипса будет стремиться к форме отрезка
. Если
, то форма эллипса будет стремиться к форме окружности.
Если , то эллипс вытянут вдоль оси
, большой полуосью будет
, а малой —
, фокусы лежат на оси
и
.
Задача №25.
Найти координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет, если известно уравнение эллипса:

Решение:
Уравнение имеет канонический вид и .
Найдем .
или
, значит

Задача №26.
Показать, что уравнение является уравнением эллипса. Найти оси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса.
Решение:
Приведем уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение данного эллипса.
— большая полуось;
— малая полуось. Найдем координаты фокусов. Так как
, то

Эксцентриситет
Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

или


Утверждение. Гипербола является кривой второго порядка, и ее каноническое уравнение имеет вид: . Число
называется действительной полуосью, число
называется мнимой полуосью и
.
Доказательство. Пусть — произвольная точка гиперболы. Пусть
и
. Очевидно, что
. По формуле расстояний между двумя точками получим:

Положим . Подставим предыдущие равенства в (*).

Если , то
и
— точки пересечения гиперболы с осью
. Очевидно, что точек пересечения с осью
нет.
Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Эта величина характеризует форму гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты
.
Задача №27.
Составить каноническое уравнение гиперболы, если .
Решение:
Так как , то
.
можем найти из соотношения
. Для этого найдем
из равенства
.
, значит
— уравнение данной гиперболы.
Задача №28.
Показать, что уравнение является уравнением гиперболы. Найти оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот.
Решение:
Приведем уравнение к каноническому виду:
или
.
— каноническое уравнение данной гиперболы.
— действительная полуось;
— мнимая полуось.
Найдем координаты фокуса. или
.
Значит — фокусы гиперболы.
Эксцентриситет
Асимптоты имеют следующие уравнения:
Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которой одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.
Утверждение. Парабола является кривой второго порядка и ее каноническое уравнение имеет вид: , где
— расстояние от фокуса до директрисы.
Доказательство. Построим систему координат так, чтобы ось проходила через точку
перпендикулярно директрисе
, а начало координат делило расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Предположим расстояние , тогда точка
имеет координаты
, а уравнение директрисы
. Пусть точка
принадлежит параболе, а точка
— ее проекция на директрису, тогда по определению расстояние
. Но
и
. Таким образом,

— каноническое уравнение параболы.
Если , то
, таким образом, парабола проходит через начало координат. Функция симметрична относительно оси
.

Если , то ветви параболы направлены вправо, если
, то — влево.
Задача №29.
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы следующей параболы .
Решение:
Запишем уравнение следующим образом:
, следовательно,
.
— уравнение директрисы.
Координаты фокуса: .
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: